Ungleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sax318 |
| Aufgabe | Löse folgende Ungleichung:
[mm] \bruch{3-x}{-2} [/mm] > 1 |
Meine Lösung:
[mm] \bruch{3}{-2} +\bruch{-x}{-2}> [/mm] 1
-1,5 [mm] +\bruch{-x}{-2}> [/mm] 1
[mm] \bruch{-x}{-2} [/mm] > 2,5
x > -5
ist das korrekt? Habe im Internet online löser genutzt die kommen auf -2
und -2 <> -5 ..hoffe ihr könnt mir da helfen.. habe sowas schon ewig nicht mehr gemacht :-( kann aber nicht so kompliziert sein, denke ich 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sax318!
Du wärst schneller am Ziel, wenn Du die Ungleichung zunächst mit [mm](-2)_[/mm] multiplizieren würdest. Bedenke, dass sich bei der Multiplikation mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umkehrt.
> [mm]\bruch{3-x}{-2}[/mm] > 1
> Meine Lösung:
> [mm]\bruch{3}{-2} +\bruch{-x}{-2}>[/mm] 1
> -1,5 [mm]+\bruch{-x}{-2}>[/mm] 1
> [mm]\bruch{-x}{-2}[/mm] > 2,5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hierher okay. Links kannst Du das Minuszeichen kürzen, so dass dort quasi ein [mm] $\bruch{x}{2}$ [/mm] steht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sax318 |
[mm] \bruch{3-x}{-2} [/mm] > 1
[mm] \bruch{3}{-2} +\bruch{-x}{-2}> [/mm] 1
-1,5 [mm] +\bruch{-x}{-2}> [/mm] 1
[mm] \bruch{-x}{-2} [/mm] > 2,5
0,5x > 2,5 /*2
x > 5
korrekt? voll gut ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mo 29.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das ist alles soweit korrekt, aber warum multiplizierst du nicht im ersten Schritt beide Seiten mit -2? Das erspart das Auseinanderziehen des Bruchs.
Also:
$ [mm] \bruch{3-x}{-2}>1 [/mm] $
$ [mm] \gdw 3-x\red{<}-2 [/mm] $
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sax318 |
dann wäre x ja größer -5
was ist jetzt also richtig=
x > -5
oder
x > 5 ??
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Weg war ja auch gut und richtig.beim anderen also mult mit -2 muss man dran denken, dass sich das kleiner zeichen mkehrt , wenn man mit ner negativen Zahl mult.
Bsp : -3<-2 mit -1 mult
ergibt 3>2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sax318 |
((x+2)/(x-2)) < 2 | *(x-2)
x+2 < 2*(x-2)
x+2 < 2x-4 |-2x
-x+2<-4 |-2
-x<-6 | *(-1)
x< 6
die denke ich ist korrekt. stimmts?
c)
[mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)}< \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] |*(x-1)
x-2< [mm] \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] *(x-1) |*(x+2)
(x-2)*(x+2) < (x+2)*(x-1)*(x+2) | x+2 Streichen
(x-2)< (x+2)*(x-1)
x-2< x²-x+2x-2 |-2 Streichen
x< x²-1x+2x |-2x
-x< x²-x
-x+x < x²
0< x²
die hingegen denke ich .. ist nicht korrekt.. aber woran liegts?d anke schon mal für die tipps
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in beiden Fällen machst du den Fehler, dass du nicht beachtest, dass der nenner auch negativ sein kann.
Deshalb bei 1 Fallunterscheidung a)x-2>0 b) x-2<0
bei fall b) dreht sich das <zeichen beim mult um.
bei c) brauchst due falluntersch für beide Nenner,
auch deine Rechng für Fall a) ist falsch.
ich hatte doch geschreben, aus -7<-6 kannst du nicht folgern 7<6
genausowenig für -x<-6 x<6 das ist falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sax318 |
oke heißt beim ersten dann also
x > 6 anstatt x < 6.
Aber das mit dem zweiten Beispiel habe ich jetzt nicht ganz verstanden, wo ich was falsch gemacht habe, könntest du meinen inhalt kopieren und unter dem fehler schreiben oder so, das wäre super
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Hallo, ich glaube du bist ganz stark am Raten, setze die Hinweise von leduart auch um
[mm] \bruch{x+2}{x-2}<2
[/mm]
Fall a)
x-2>0 somit x>2
[mm] \bruch{x+2}{x-2}<2
[/mm]
x+2<2(x-2)
x+2<2x-4
x>6
aus x>2 und x>6 folgt x>6
Fall b)
x-2<0 somit x<2
[mm] \bruch{x+2}{x-2}<2
[/mm]
x+2>2(x-2)
x+2>2x-4
x<6
aus x<2 und x<6 folgt x<2
[mm] L_g_e_s=\{x; x<2; x>6; x\in \IR\}
[/mm]
zum 2. Beispiel
Fall a) x-1>0 und x+2>0 also x>1
Fall b) x-1>0 und x+2<0 hat sich erledigt
Fall c) x-1<0 und x+2>0 also -2<x<1
Fall d) x-1<0 und x+2<0 also x<-2
rechne die Fälle a), c) und d), beachte immer, was mit deinen Relationszeichen bei der Multiplikation passiert
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sax318 |
achso.. oke also gibts hier mehrere lösungen wie ich sehe.
kannst du mir mal einen guten link schicken, wo solche beispiele anfänger-gerecht erklärrt werden?
danke vielmals schon im voraus!
lg
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Hallo, du schaffst das auch mit uns
Fall a)
beide Nenner sind größer Null, beim multiplizieren mit den Nennern kehrt sich das Relationszeichen also nicht um
(x-2)(x+2)<(x+1)(x-1)
[mm] x^{2}-4
-4<-1
du kannst also alle (rellen) Zahlen für x einsetzen, bedenke, wir hatten gesagt x>1 (siehe meine andere Antwort)
Fall c)
ein Nenner ist kleiner Null, ein Nenner ist größer Null, bei der Multiplikation kehrt sich das Relationszeichen um
(x-2)(x+2)>(x+1)(x-1)
[mm] x^{2}-4>x^{2}-1
[/mm]
-4>-1
ist ja wohl eine falsche Aussage, jede weitere Überlegung hat sich also erledigt
Fall c)
beide Nenner sind negativ, multiplizierst du mit (x-1) kehrt sich das Relationszeichen um, multiplizierst du mit (x+2) kehrt sich das Relationszeichen erneut um
jetzt machst du weiter
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 30.11.2010 | | Autor: | sax318 |
Einer kleiner einer größer 0
Fall c) x-1<0 und x+2>0 also -2<x<1
beide kleiner Null
Fall d) x-1<0 und x+2<0 also x<-2
rechne die Fälle a), c) und d), beachte immer, was mit deinen Relationszeichen bei der Multiplikation passiert
Oke, ich denke das Fallprinzip selbst gecheckt zu haben, aber was ich nicht ganz verstehe, wozu man das macht. Man trifft annahmen, ob die Nenner größer oder kleiner 0 sind und stellt dann die Bereichswerte von x fest.. aber wenn ich es doch "lösen" kann ohne annahmen zu treffen.. wozu mache ich das dann?
ich hoffe du verstehst was ich meine..
oder ist es so, dass man bei ungleichungen immer nur den wertebreich und nie eindeutig variablen bestimmt?
und da es sich um einen wertebreich handelt muss ich alle 4 fälle durchgehen und dann ausschließen zb -1>-4 wäre unsinn, somit scheidet das aus. dann sollten also nur 2 gültige rauskommen, die sind dann meine bereichswerte. habe ich das jetzt richtig verstanden?
danke schon mal!
lg
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Hallo, das Problem ist das Rechnen mit Ungleichungen, konkret die Multiplikation, betrachten wir
die Ungleichung -4<25 ist eine wahre Aussage
multipliziere diese Ungleichung mit 3
-4*3<25*3
-12<75 ist immer noch eine wahre Aussage
multipliziere jetzt die Ungleichung -4<25 mit -5
-4*(-5)<25*(-5)
20<-75 ist ja wohl keine wahre Aussage mehr, präge dir für alle Zeiten ein, wird eine Ungleichung mit einer Zahl kleiner Null multipliziert, so kehrt sich das Relationszeichen um, machen wir es also richtig
20>-75
jetzt zu deiner Ungleichung, da steht ja z.B. x-1 im Nenner, mit dem du ja multiplizierst, x ist dir aber noch unbekannt, du kannst somit also nicht entscheiden, ob x-1 kleiner- oder größer als Null ist, darum also die Fallunterscheidung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Mi 01.12.2010 | | Autor: | sax318 |
achsooo jetzt verstehe ich
dann nochmal von neu:
$ [mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)}< \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] $ /*(x-1)
(x-2) [mm] >\bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] *(x-1) /*(x+2)
(x-2) * (x+2) >(x+1)*(x-1)
x²-4 > x² -1 /+1
x²-4+1 > x² (oder kehrt sich das hier auch um) ??ne nur bei mulitpl. od?
x² -3 > x²
-3 > x²-x²
-3> 0 wäre ja unsinn..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast mal wieder nicht alles gelesen, oder nicht beachtet.
Du musst Fallunterscheidungen machen.
Also:
$ [mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)}< \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] $ |*(x-1);*(x+2)
Fall 1: x-1>0,(dann ist auch x+2>0), also x>1
Dann multiplizierst du nur mit positiven Zahlen, also
$ [mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)}< \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] $
[mm] \gdw(x-2)(x+2)<(x-1)(x+1)
[/mm]
Fall 2: -2<x<1
Dann ist nur x-1 negativ, x+2 dagegen noch positiv, also:
$ [mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)}< \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] $
[mm] \gdw(x-2)(x+2)>(x-1)(x+1)
[/mm]
Fall 3: x<-2, dann sind beide Nenner negativ, du multiplizierst also zweimal mit einer negativen Zahl, so dass sich das Zeichen wieder in die Ausgangsstellung dreht
Also:
$ [mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)}< \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] $
[mm] \gdw(x-2)(x+2)<(x-1)(x+1)
[/mm]
Führe jetzt alle drei Fälle zum Ende, und vergleiche die Aussagen der Fallunterscheidung mit denen der Fallösungen. Dann solltest du einen oder mehrere Fälle zu einem Ergebnis führen können.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 02.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Sodala komme mit neuem Wissen zurück in den Thread. Und denke es nun verstanden zu haben, was ich alles machen muss - habs mir auch noch mal von meinem Prof. erklären lassen. Also wenn ich es richtig verstanden habe, sind bei Bruchungleichungen alle anzunehmenden fälle durch zu rechnen.
Im konkreten beispiel:
x < 0
x > 0
x < - 1
x> -1
x<-2
x>-2
x>1
x<1
x>2
x<2
Das dann jeweils mit allen durchrechnen zB:
x < 0:
x-2 < 0 -->x<2
x-1<0 --> x<1
x+1<0 --> x<-1
x+2<0 --> x <-2
Jetzt kann man daraus sachen ausschließen:
x<1, x<2 --> wenn x<1 ists sicher auch <2
genau das selbe wenn x <-2 ists sicher auch <-1
macht fall 1: [-2>x<1]
wenn ich das mit allen 10 durchgerechnet habe und alle ausschlüsse und doppelten weggezählt habe, habe ich den wertebereich von X
Und dann noch bestimmen, was es nicht sein kann. Also Zahlen die den Zähler oder Nenner 0 werden lassen würden.
[mm] \bruch{x-2}{x-1} [/mm] < [mm] \bruch{x+1}{x+2}
[/mm]
x<>2
x<>1
x<>-1
x<>-2
was mich jetzt nur noch immer irritiert. bitte sorry das ich mich anscheinend dumm wie eine kuh vorm neuen tor anstelle...ABER
Gleichung:
[mm] \bruch{x-2}{x-1} [/mm] < [mm] \bruch{x+1}{x+2}
[/mm]
Jetzt kann ich zwar den Wertebereich sagen, aber dennoch kommt es bei dieser gleichung zu keiner lösung.
[mm] \bruch{x-2}{x-1} [/mm] < [mm] \bruch{x+1}{x+2} [/mm] /*(x-1)
(x-2) > [mm] \bruch{x+1}{x+2}*(x-1) [/mm] /*(x+2)
(x-2)*(x+2) > (x+1)*(x-1)*(x+2)
x²-4 > (x²-2)*(x+2) /:(x+2)
[mm] \bruch{x^{2}-4}{x+2} [/mm] > x²-2
x-2 > x²-2 /+2
x +0 > x²
0 > x² -x
Mitternachtsformel?
a = 1
b = -1
c = 0
x1,2 = [mm] \bruch{-1 +-\wurzel(b²-4ac)}{2a}
[/mm]
x1,2 = [mm] \bruch{1 +-\wurzel(1-4)}{2}
[/mm]
x1,2 = [mm] \bruch{1 +-\wurzel(-3)}{2}
[/mm]
wurzel aus negativen zahlen...
rauskommen sollte irgenwann -2>x>1 also x>1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast:$ [mm] \bruch{x-2}{x-1} [/mm] $ < $ [mm] \bruch{x+1}{x+2} [/mm] $
1. Schritt: x=1 und x=-2 nicht definiert.
2. Schritt du willst mit x-1 mult.
dazu muss wenn das < zeichen bleiben soll x-1>0 also x>1
dann mit x+2 mult. wenn x>1 ist ist das positiv. also hast du
für x>1
(x-2)*(x+2)<(x-1)*(x+1) 3. bin formel
[mm] x^2-4
aber siehe oben x>1
3. x-1<0 und x+2<0 zusammen x<-2
dann wird 2 mal mit was neg mult, d.h. das < zeichen 2 mal umgedreht , d,h, es belbt und wir haben es oben schon behandelt,
nur jetzt für x<-2
bleibt x-1<0 und x+2>0 also -2<x<1
da dreht sich das < um wir haben
[mm] x^2-4>x^2-2 [/mm]
da gibt es kein x.
damit sind nur die x zw -2 und +1 keine Lösung.
Dein Fehler. wenn du mit den nennern mult dann kürzen sie sich, da hast du falsch mult.
und du hast zu viele Fallunterscheidungen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
hallo,
habe mir das ganze was ihr geschrieben habt mal genau durchgelesen, im gurunde muss man ja wirklcih nur beachten, wenn man mit neagitven zahlen multipliziert, dass sich das vorzeichen umkehrt und sobald sich das umkehr gibts fallunterscheidungen:
[mm] \bruch{(x-2)}{(x-1)} [/mm] < [mm] \bruch{(x+1)}{(x+2)} [/mm] /*(x-1)
Fall a) x-1>0 und x+2>0
--> x>1, x>-2 = x>1
(x-2)*(x+2) < (x+1)*(x-1)
x²-4 <x² -2
-4<-1
Fall b) x-1>0 und x+2<0 hat sich erledigt
x>1, x<-2 = hat sich erledigt
Fall c) x-1<0 und x+2>0
(x-2)*(x+2) < (x+1)*(x-1)
x<1, x>-2 = -2<x<1
(x-2)*(x+2) > (x+1)*(x-1)
x²-4 >x² -2
-4>-1
falsche Aussage
Fall d) x-1<0 und x+2<0
x<-1, x<-2 = x<-2
((x-2)/(x-1)) < ((x+1)/(x+2) /*x-1
(x-2) > ((x+1)/(x+2) *(x-1) /*x+2
(x-2)*(x+2) < (x+1)*(x-1)
x²-4 < x²-2
-4<-2
a=-4<-1
b=-4>-1
c=-4>-1
d=-4<-2
bleibt noch:
a=-4<-1
d=-4<-2
oke jetzt habe ich die fallunterscheidungen, aber wie gehts jetzt weiter? oder sind das die lösungen?
-4<x<-1 = x= -3 oder -2
-4<x<-2 = x = -3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
vielen dank, dass ihr euch so viel mühe gebt obwohls manchmal scheint, als ob ich nicht nur auf der leitung stehe, sondern diese niedergerissen habe..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo sax
die Rechnungen sind richtig.
aber bei a) hast du doch raus, dass die Ungl. für alle x>1 richtig ist.
bei d) hast du raus, dass es für x<-2 richtig ist. in c, dass es für -2<x<1 falsch ist.
folgerung: die Ungleichung ist erfüllt für x<-2 und für x>1
du hast also alles und musst nur sehen, was du hast.
vielleicht malst du dir ne x-Achse und malst immer grün, was richtig ist und rot was falsch ist.
du kannst deine Ergebnis auch schreiben als Lösngsmenge [mm] =\IR-[-2,1]
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
juhuuuuuuuuu also jetzt wirds echt zeit für den nobelpreis ;) ^^ x-DDDDD
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