www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Untergruppe
Untergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Untergruppe: alternierende Gruppe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Mo 29.12.2008
Autor: TTaylor

Aufgabe
Ist H eine Untergruppe von [mm]S_n [/mm] mit n!/2 Elementen, so ist [mm]H= A_n[/mm]

Hallo erstmal,

Ich weiß, dass die Gruppenordnung von [mm]S_n = n! [/mm]ist.
Nach Lagrange  gilt [mm]|S_n|=[S_n: A_n]*|A_n| [/mm]und die Ordnung von[mm] A_n[/mm] ist n!/2.

Der Index beträgt also 2, d.h. die Anzahl der Linksnebenklassen die gleich der Rechtsnebenklassen sind ist 2.

Warum ist [mm]A_n [/mm]jetzt gleich H?

Ich weiß, dass für n>=3 jedes Element von [mm]A_n[/mm] als Produkt von Dreierzyklen geschrieben werden kann.
Aber wie folgere ich hieraus, dass [mm]A_n =H[/mm] ist?

        
Bezug
Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Mo 29.12.2008
Autor: felixf

Hallo

> Ist H eine Untergruppe von [mm]S_n[/mm] mit n!/2 Elementen, so ist
> [mm]H= A_n[/mm]
>  Hallo erstmal,
>  
> Ich weiß, dass die Gruppenordnung von [mm]S_n = n! [/mm]ist.
>  Nach
> Lagrange  gilt [mm]|S_n|=[S_n: A_n]*|A_n| [/mm]und die Ordnung von[mm] A_n[/mm]
> ist n!/2.
>  
> Der Index beträgt also 2, d.h. die Anzahl der
> Linksnebenklassen die gleich der Rechtsnebenklassen sind
> ist 2.

Insbesondere ist $H$ also ein Normalteiler.

Die Faktorgruppe [mm] $S_n [/mm] / H$ hat also zwei Elemente, was bedeutet dass [mm] $g^2 \in [/mm] H$ ist fuer alle $g [mm] \in S_n$. [/mm]

> Warum ist [mm]A_n [/mm]jetzt gleich H?
>  
> Ich weiß, dass für n>=3 jedes Element von [mm]A_n[/mm] als Produkt
> von Dreierzyklen geschrieben werden kann.
>  Aber wie folgere ich hieraus, dass [mm]A_n =H[/mm] ist?

Zeige, dass jeder Dreierzykel in $H$ liegt. Daraus folgt dann [mm] $A_n \subseteq [/mm] H$, und da beides endliche Mengen sind mit gleich vielen Elementen folgt [mm] $A_n [/mm] = H$.

Aber wieso liegt jeder Dreierzykel in $H$? Zeige, dass sich jeder Dreierzykel [mm] $\sigma$ [/mm] als [mm] $\tau^2$ [/mm] schreiben kann, wobei [mm] $\tau$ [/mm] ein weiterer Dreierzykel ist: daraus folgt [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau^2 \in [/mm] H$, da $|G/H| = 2$ ist.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]