Verbrauchsangaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:59 Do 03.09.2009 | | Autor: | AMDFreak2006 |
| Aufgabe | Der Kraftstoffverbrauch der meisten Autos lässt sich durch eine Funktion 2. Grades gut annähern.
Stelle für die in der Tabelle dargestellten 5 Pkw-Typen aus den Verbrauchsangaben für 70,90 und 120 km/h jeweils die Verbrauchsfunktion f auf.
Exemplarisch an PKW 1 (1,1l/40kW (55 PS))
50 70 90 120 140 KM/H
4,6 5,4 6,1 8,0 12,0 VERBRAUCH IN LITER |
Hallo, das hatten wir heute im Unterricht und keiner hats wirklich hinbekommen.
Wie zum Teufel soll man das lösen???
Unsere Lehrerin hat gesagt, das es auf jeden Fall eine quadratische Gleichung der Form [mm] F(x)=ax^2+bx+c [/mm] ist
Wie man darauf kommt?? Keine Ahnung...
Ich habs jedenfalls erstmal so versucht das ich die Geschwindigkeit (x) in die quadratische Gleichung eingesetzt habe.
Bei 70 km/h kommt man dann bspw. auf
f(70) = 4900a+70b+c
Nun habe ich den Verbrauch für f(70) eingesetzt.
Das sieht dann so aus:
5,4 = 4900a+70b+c
Hier habe ich nun nach c umgestellt, um vielleicht irgendwie eine Variable rauszubekommen.
sieht am Ende dann so aus:
c = -4900a-70b+5,4
Jetzt dachte ich mir, setzte das mit der Gleichung für f(90) gleich.
Sähe also so aus:
-4900a-70b+5,4 = -8100a-90b+6,1
Fertig ausgerechnet siehts das dann so aus:
3200a+20b-0,7=0
Weiterkommen tu ich damit aber trotzdem nicht.
Also wie löst man bitte diese Aufgabe, ich weiß echt nicht mehr weiter.
Vielen Dank im Voraus
Matze
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Hallo AMDFreak2006,
> Der Kraftstoffverbrauch der meisten Autos lässt sich durch
> eine Funktion 2. Grades gut annähern.
> Stelle für die in der Tabelle dargestellten 5 Pkw-Typen
> aus den Verbrauchsangaben für 70,90 und 120 km/h jeweils
> die Verbrauchsfunktion f auf.
>
> Exemplarisch an PKW 1 (1,1l/40kW (55 PS))
>
> 50 70 90 120 140 KM/H
> 4,6 5,4 6,1 8,0 12,0 VERBRAUCH IN LITER
> Hallo, das hatten wir heute im Unterricht und keiner hats
> wirklich hinbekommen.
>
> Wie zum Teufel soll man das lösen???
>
> Unsere Lehrerin hat gesagt, das es auf jeden Fall eine
> quadratische Gleichung der Form [mm]F(x)=ax^2+bx+c[/mm] ist
>
>
> Wie man darauf kommt?? Keine Ahnung...
>
>
>
> Ich habs jedenfalls erstmal so versucht das ich die
> Geschwindigkeit (x) in die quadratische Gleichung
> eingesetzt habe.
>
>
> Bei 70 km/h kommt man dann bspw. auf
>
> f(70) = 4900a+70b+c
>
>
> Nun habe ich den Verbrauch für f(70) eingesetzt.
> Das sieht dann so aus:
>
> 5,4 = 4900a+70b+c
>
>
> Hier habe ich nun nach c umgestellt, um vielleicht
> irgendwie eine Variable rauszubekommen.
>
> sieht am Ende dann so aus:
>
> c = -4900a-70b+5,4
>
>
> Jetzt dachte ich mir, setzte das mit der Gleichung für
> f(90) gleich.
> Sähe also so aus:
>
> -4900a-70b+5,4 = -8100a-90b+6,1
>
>
> Fertig ausgerechnet siehts das dann so aus:
>
> 3200a+20b-0,7=0
>
Diese Gleichung kannst Du jetzt nach a oder b auflösen,
und dann in die Gleichung
[mm]5,4 = 4900a+70b+c[/mm]
einsetzen.
Setzt Du das Bekannte ein, und löst nach c auf,
so erhälst Du c in Abhängigkeit von nur einer Variablen.
Um diese Variable jetzt zu bestimmen, hast Du noch
die 3. Gleichung zur Verfügung:
[mm]8,0=a*\left(120 \right)^{2}+b*120+c[/mm]
Setze auch hier alles schon Bekannte ein,
und löse nach der unbekannten Variablen auf.
Das nennt man auch ![[]](/images/popup.gif) Einsetzungsverfahren.
>
> Weiterkommen tu ich damit aber trotzdem nicht.
>
>
>
> Also wie löst man bitte diese Aufgabe, ich weiß echt
> nicht mehr weiter.
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Matze
Gruss
MathePower
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ich bin gerade irgendwie zu doof dafür...
wenn ich deinen rat befolge,
bekomme ich für
b = 0,035 - 160a
das setze ich in I (5,4=4900a+70b+c) ein
das stell ich nach c um und erhalte
c = 6300a+2,95
nun setz ich alle variablen in III (8,0=14400a+120b+c) ein
also:
8,0 = 14400a + 120b + c /-120b
8,0-120b = 14400a + c /-c
8,0-120b-c = 14400a /:14400
a = 8/14400 - 120/14400 b - 1/14400 c
a = 1/1800 - 120 * (0,035-160a) - 1/14400 * (6300a + 2,95)
a = 1/1800 - 4,2 + 19200a - 0,4375a - 0,000210
a = -4,2 + 19199,56a /-19199,56a
-19198,56a = -4,2 /-19198,56a
a = 0,000219
Was nun, und ist überhaupt die Rechnung oben richtig?
Ich krieg gerade garnichts mehr hin...
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Hallo AMDFreak2006,
> ich bin gerade irgendwie zu doof dafür...
>
> wenn ich deinen rat befolge,
>
> bekomme ich für
>
> b = 0,035 - 160a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das setze ich in I (5,4=4900a+70b+c) ein
>
> das stell ich nach c um und erhalte
>
> c = 6300a+2,95
>
> nun setz ich alle variablen in III (8,0=14400a+120b+c) ein
>
> also:
>
> 8,0 = 14400a + 120b + c /-120b
>
> 8,0-120b = 14400a + c /-c
>
> 8,0-120b-c = 14400a /:14400
>
> a = 8/14400 - 120/14400 b - 1/14400 c
>
> a = 1/1800 - 120 * (0,035-160a) - 1/14400 * (6300a + 2,95)
Hier muß es lauten:
[mm]a = 1/1800 - \red{\bruch{1}{120}} * (0,035-160a) - 1/14400 * (6300a + 2,95)[/mm]
>
> a = 1/1800 - 4,2 + 19200a - 0,4375a - 0,000210
>
> a = -4,2 + 19199,56a /-19199,56a
>
> -19198,56a = -4,2 /-19198,56a
>
> a = 0,000219
>
>
> Was nun, und ist überhaupt die Rechnung oben richtig?
>
> Ich krieg gerade garnichts mehr hin...
Gruss
MathePower
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so, ok, flüchtigkeitsfehler berichtigt,
dann komme ich bei a auf
a = 0,39
wenn ich nun die anderen variablen "aktualisiere"
kommt heraus:
b = -62,37
c = 2460
daraus ergibt sich die gleichung:
f(x) = [mm] 0,39x^2 [/mm] - 62,37x + 2460 /: 0,39
f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 160x + 6308
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korrekt??
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> daraus ergibt sich die gleichung:
>
> f(x) = [mm]0,39x^2[/mm] - 62,37x + 2460 /: 0,39
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] - 160x + 6308
> ------------------------
> korrekt??
Hallo, leider nicht korrekt! Du darfst nicht einfach :0,39 dividieren, ohne das gleiche auch links zu tun! Wenn links 0 stünde, wäre das kein Problem, so geht es aber nicht.
Es bleibt also bei der Funktion
f(x) = [mm]0,39x^2[/mm] - 62,37x + 2460
On diese stimmt, habe ich nicht nachgerechnet, das kannst du durch Einsetzen einiger Punkte aus der Wertetabelle selbst als Probe machen.
Gruß, MatheOldie
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oh ok, aber kann man sich nicht das f(x) kurz wegdenken und es später wieder dran schreiben?? ist doch ne quadratische funktion und wenn man sie jetzt bspw. ausrechen wollen würde müsste man sie ja auch erst auf normal form also [mm] 1x^2... [/mm] bringen.
Zweite Sache: Als Ergebnis kommt bei 50km/h: 5,1 l raus (5,4 müsstens sein) und bei 70 km/h 5,7 l raus (6,1 müsstens sein).
Kann natürlich mit Rundungen zu tun haben, allerdings sagte die Lehrerin a müsse 17/30000 sein (entspricht also 0,000567) (bei mir ist a allerdings 0,39)
Dritte Sache: Wie kam die Lehrerin darauf, dass es überhaupt ein quadratische Funktion ist?
Vierte Sache: Wie wär ich an die dritte Variable gekommen, wenn ich nur 2 Gleichungen gehabt hätte?
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Hallo!
> oh ok, aber kann man sich nicht das f(x) kurz wegdenken und
> es später wieder dran schreiben?? ist doch ne quadratische
> funktion und wenn man sie jetzt bspw. ausrechen wollen
> würde müsste man sie ja auch erst auf normal form also
> [mm]1x^2...[/mm] bringen.
Nein! Nie wieder auch nur solch einen Gedanken haben! Funktion ist Funktion, und wenn die so lautet, dann darf man auch nicht nur auf der rechten Seite durch 0.39 teilen. Ein Beispiel: Bei der Funktion f(x) = [mm] 2*x^{2} [/mm] darf ich auch nicht einfach nur rechts durch 2 teilen, um auf g(x) = [mm] x^{2}, [/mm] man sieht auch im Graphen, dass es völlig verschiedene Funktionen sind (die völlig verschiedene Werte ergeben, wenn ich dieselben x einsetze):
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Zweite Sache: Als Ergebnis kommt bei 50km/h: 5,1 l raus
> (5,4 müsstens sein) und bei 70 km/h 5,7 l raus (6,1
> müsstens sein).
> Kann natürlich mit Rundungen zu tun haben, allerdings
> sagte die Lehrerin a müsse 17/30000 sein (entspricht also
> 0,000567) (bei mir ist a allerdings 0,39)
Zunächst: Deine Lehrerin hat (leider  ) recht, ihre Lösungen sind richtig.
Würde vorschlagen, du präsentierst nochmal deine Rechnung für das Auflösen von a ab der Stelle, wo MathePower dir geholfen hat 
> Dritte Sache: Wie kam die Lehrerin darauf, dass es
> überhaupt ein quadratische Funktion ist?
In der Aufgabe stand, dass "sich der Verbrauch mit einer Funktion 2. Grades" annähern lässt. Genauer hätte man eigentlich schreiben müssen "Polynom 2. Grades", aber egal. Man meint mit dieser Floskel, dass die Funktion folgende Gestalt haben soll:
$f(x) = [mm] a*x^{2}+b*x+c$
[/mm]
Bei "Funktion 3. Grades" wäre es gewesen:
$f(x) = [mm] a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d$
[/mm]
usw.
> Vierte Sache: Wie wär ich an die dritte Variable gekommen,
> wenn ich nur 2 Gleichungen gehabt hätte?
Mit nur zwei Gleichungen kannst du im Allgemeinen nicht 3 Unbekannte eindeutig bestimmen. Du brauchst mindestens soviele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sind.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also um a rauszubekommen habe ich so gerechnet:
8,0 = 14400a + 120b + c /-120b /-c
8,0 -120b -c = 14400a /:14400
a = [mm] \bruch{8}{14400} [/mm] - [mm] \bruch{120}{14400}b [/mm] - [mm] \bruch{1}{14400}c
[/mm]
a = [mm] \bruch{1}{1800} [/mm] - [mm] \bruch{1}{120} [/mm] * (0,035-160a) - [mm] \bruch{1}{14400} [/mm] * (6300a+2,95)
a = [mm] \bruch{1}{1800} [/mm] - 0,043 + 1,33a - 0,44a - 0,000210
a = -0,043 + 0,89a /-0,89a
0,11a = -0,043 /:0,11
a = 0,39
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Aktualisierung von b = -62,37
Aktualisierung von c = 2460
Gleichung: [mm] f(x)=0,39x^2 [/mm] - 62,37x - 2460
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mist, unten habe ich das minus vergessen, wären dann also -0,39. aber das ist ja trotzdem das falsche ergebnis..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Fr 04.09.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo,
ich habe jetzt mal nachgerechnet und nachrechnen lassen (Excel- Trendlinien):
Die gegebenen Punkte liegen nicht alle präzise auf einer Parabel, sondern nur näherungsweise. Wenn du mit Hilfe von 3 Punkten eine Parabel bestimmst, dann "passen" die anderen beiden nur in etwa darauf, kleine Abweichungen für diese sind also möglich.
Je nachdem, welche drei Punkte du nimmst, unterscheiden sich die Parabelkoeffizienten voneinander. Wenn man die ersten drei Punkte nimmt, kommt sogar eine nach unten geöffnete Parabel heraus (eine nicht angemessene Lösung für dieses Problem).
Deine Lösungswerte enthalten noch Fehler. Ich zeige dir jetzt eine übersichtliche Lösung, weil du schon lange an dem Problem arbeitest. Du hast die Gleichungen
1) 4900a + 70b + c = 5,4
2) 8100a + 90b + c = 6,1
3)14400a+120b+ c = 8
1') =3)-2) ergibt 6300a + 30b = 1,9 |*2
2') = 2)-1) ergibt 3200a + 20b = 0,7 |*3
1'') 12600a + 60b = 3,8
2'') 9600a + 60b = 2,1
1'')-2'') ergibt
3000a = 1,7 => a=17/30000 = 0,000567
Weiter eingesetzt => b = -0,055667 => c = 6,52
(Eigentlich ist = nicht korrekt, hier aber vertretbar)
Gruß, MatheOldie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Fr 04.09.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Ich habe gerade noch einmal mit anderen Werten gerechnet: Auch bei der mit den Angaben für 50,90,140 berechneten Parabel weichen die beiden anderen Werte noch ziemlich ab.
Tatsächlich würde man hier eine Ausgleichsparabel berechnen, so dass alle Werte einigermaßen stimmen.
So, nun mach' was daraus ..
Gruß, MatheOldie
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Hallo!
> Also um a rauszubekommen habe ich so gerechnet:
>
> 8,0 = 14400a + 120b + c /-120b /-c
>
> 8,0 -120b -c = 14400a /:14400
>
> a = [mm]\bruch{8}{14400}[/mm] - [mm]\bruch{120}{14400}b[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{14400}c[/mm]
Hier erstmal nur eine kleine Nebenbemerkung: Es nützt eigenlich nichts, jetzt schon nach a umzustellen, weil auf der rechten Seite aufgrund des Einsetzens eh wieder a's in die Gleichung reinkommen.
> a = [mm]\bruch{1}{1800}[/mm] - [mm]\bruch{1}{120}[/mm] * (0,035-160a) -
> [mm]\bruch{1}{14400}[/mm] * (6300a+2,95)
>
> a = [mm]\bruch{1}{1800}[/mm] - 0,043 + 1,33a - 0,44a - 0,000210
Hier ist der Fehler passiert: [mm] $\frac{1}{120}*0.035 \not= [/mm] 0.043$, sondern...
Grüße,
Stefan
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Jaaaaa!! Dankeschön an alle! Jetzt hauen die Ergebnisse hin :)
PS: @ Matheoldie
Ich glaube deine Lösung mit Ausgleichsparabeln (die ich nebenbei gesagt noch nicht kenne) ist hier nicht nötig, da meine Rechnungen bis auf die 3. kommastelle genau sind und mit der tabelle übereinstimmen.
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