Vollst. Induktion J(n) = n/2 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge aller natürlichen Zahlen n, für die gilt:
J(n) = n/2 |
Hallo an alle.
Ich komm irgendwie nicht weiter.
Also unsere Aufgabe ist:
Finde alle n für die gilt: J(n) = n/2
Ich habe zur Probe die Josephus-Nummern in einer Tabelle dargestellt und es scheint, als wäre bei n=2 und bei n=10 und n=42 der Fall gegeben.
Nun habe ich ein Rekursionsschema versucht aufzustellen - bin aber schon daran gescheitert.
Ich wusste nur, dass es heißen muss : Vorgängerzahl * 4 +2, also 2 * 4 +2 = 10 oder dann 4 * 10 +2 = 42.
Da habe ich im Internet folgendes Rekursion gefunden: K(m) = 4 * K(m-1) +2.
Also das heißt: J(n) = [mm] \bruch{n}{2} [/mm] wenn n = K(m) = 4 * K(m-1) +2
Das funktioniert auch alles super.
Jetzt muss ich wissen, ob das was ich mache, richtig ist.
Also zunächst mache ich den Induktionsanfang und setze m=1 und bekomme für K(1) = 2 raus.
Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
für alle nat. Zahlen n = K(m) gilt J(K(m)) = [mm] \bruch{K(m)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{4 * (K(m-1) + 2)}{2}
[/mm]
= 2* K(m-1) + 1
Induktionsbehauptung:
für K(m) = K(m+1) <-- ist das richtig rausgedrückt?
gilt: K(m+1) = 4 * K(m+1-1) +2
Induktionsbeweis:
4 * K(m+1-1) +2 = 4 * K(m) + 2 = 2 ( 2 * K(m) +1) = ???
Wie geht's jetzt weiter? Wie komme ich auf meine Induktionsvoraussetzung?
Ich muss doch jetzt irgendwie auf 2* K(m-1) + 1 oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Sa 27.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum gibst du nicht an, wo du das sonst noch gepostet hast?
Forenregel!!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Sa 27.10.2012 | | Autor: | sethonator |
Achso, sorry.
Ich habe das auch noch hier gepostet.
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=503721
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Kannst du mir denn helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Bestimmen Sie die Menge aller natürlichen Zahlen n, für
> die gilt:
>
> J(n) = n/2
Wie ist denn J(n) überhaupt definiert ?
Al-Chw.
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Ich hoffe, ich verwechsel da nichts.
J(n) ist ja die Josephus-Nummer, wobei normalerweise gilt: J(n) = n und n lässt sich ausdrücken: [mm] J(2^{m} [/mm] +r) = 2r+1
Also will man die Josephus-Nummer von 42 haben, muss man den linken ausdrücken wie [mm] J(2^{5} [/mm] +10) = 2* 10+1
Also ist J(42)= 21
Und wir sollen jetzt alle Zahlen ermitteln, für die gilt J(n) = [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
und das sollen wir mittels vollständiger Induktion beweisen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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