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| Aufgabe | Vollständige Induktion, man zeige:
Für jedes [mm] n\ge1 [/mm] gilt [mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n*(n+1)(2n+1) [/mm] |
Hallo,
mein Lösungsansatz zu der Aufgabe ist folgender:
Induktionsanfang: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1}1^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*1*(1+1)*(2*1+1)
[/mm]
1 = [mm] \bruch{1}{6}*6
[/mm]
1=1
So, bis hier hin müsste doch alles richtig sein, oder?
Jetzt muss ich ja überprüfen ob sich die Formel von n auf n+1 vererbt.
Induktionsschritt: n=n+1=2
[mm] \summe_{k=1}^{2}(1+2)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*2*(2+1)*(2*2+1)
[/mm]
9 = [mm] \bruch{1}{6}*5*6
[/mm]
9 = 5
... und hier im Induktionsschritt, passts dann nicht mehr, wo ist der Fehler?
Danke im voraus!
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> Vollständige Induktion, man zeige:
> Für jedes [mm]n\ge1[/mm] gilt [mm]\summe_{k=1}^{n}k²[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6}n*(n+1)(2n+1)[/mm]
> Hallo,
> mein Lösungsansatz zu der Aufgabe ist folgender:
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]\summe_{k=1}^{1}1^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}*1*(1+1)*(2*1+1)[/mm]
> 1 = [mm]\bruch{1}{6}*6[/mm]
> 1=1
> So, bis hier hin müsste doch alles richtig sein, oder?
> Jetzt muss ich ja überprüfen ob sich die Formel von n auf
> n+1 vererbt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist richtig, du überprüfst die Formel für EINEN ganz bestimmten n Wert und sagst dann, es folgt daraus, dass die Formel für ein beliebiges n aus [mm] \IN [/mm] richtig sei.
>
> Induktionsschritt: n=n+1=2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ich weiß nicht ,warum du hier eine konkrete Zahl einsetzt, denn der Sinn der Induktion besteht gerade darin, jetzt nicht mehr mit konkreten Zahle nzu verfahren, sondern allgemein n+1 einzusetzten. Trotzdem kannst du natürlich zwei einsetzten!
> [mm]\summe_{k=1}^{2}(1+2)^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}*2*(2+1)*(2*2+1)[/mm]
ganz falsch! Was hießt denn das Summenzeichen?
Summe bedeutet doch, setzte für k den Startwert k=1 ein und rechne aus, addiere DANN darauf den nächsten Wert für k=2 bis k den Wert n erreicht hat. Demzufolge ist deine Formel für k=1 bis n=2 mitnichten [mm] (1+2)^2 [/mm] sondern [mm] 1^2+2^2 [/mm] !! Der hintere Teil stimmt aber und sollte dir jetzt das richtige Ergebnis liefern
> 9 = [mm]\bruch{1}{6}*5*6[/mm]
> 9 = 5
> ... und hier im Induktionsschritt, passts dann nicht mehr,
> wo ist der Fehler?
>
> Danke im voraus!
>
Was du eigentlich zeigen musst ist:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=\bruch{n*(n+1)(2n+1)}{6}=\bruch{(n+1)*(n+1+1)(2*(n+1)+1)}{6}=\bruch{(n+1)*(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] $
Denn das wäre ja die allg. gültige Formel! Wenn deine Summenformel [mm] k^2 [/mm] lautet und deine Endzahl n+1 beträgt, so musst du dieses n in die allg. Formel eintragen.
Gleichzeitig gilt aber eben auch:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=\summe_{k=1}^{n}k^2+\summe_{n+1}^{n+1}k^2 [/mm] $ !!
Das ist der wichtige Schritt, du kennst [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2, [/mm] denn davon bist du ausgegangen und alles, was jetzt dazukommt, ist ein einziger weiterer Summand, also können wir das oben auch so umschreiben:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=\summe_{k=1}^{n}k^2+\summe_{n+1}^{n+1}k^2=\summe_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2=\bruch{n*(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 [/mm] $
Das musst du jetzt so zusammenschreiben, das gilt:
$ [mm] \bruch{n*(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\bruch{(n+1)*(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] $
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