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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 23.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Für alle x [mm] \varepsilon \IQ, [/mm] x > -1 und alle n [mm] \varepsilon \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 gilt
[mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx
Für alle n [mm] \varepsilon \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i²} [/mm] < 2
Wäre nett, wenn mir jemand ein paar Tipps zu den beiden Aufgaben geben könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 So 23.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Commotus.
Zur ersten Aufgabe:
Die Induktionsverankerung sollte klar sein. Ist die Behauptung nun für $n$ korrekt, so ist [mm] $(1+x)^{n+1} [/mm] = [mm] (1+x)(1+x)^n$, [/mm] was nach Induktionsvoraussetzung größer als $(1+x)(1+nx)$ ist. Zu zeigen, dass dieser Ausdruck nun größer gleich $1+(n+1)x$ ist, überlasse ich mal dur.
Zur zweiten Aufgabe:
Für $i=2,3,..$ kannst du [mm] $\frac{1}{i^2}$ [/mm] durch [mm] $\frac{1}{i(i-1)}$ [/mm] nach oben abschätzen und eine Partialbruchzerlegung durchführen. Du erhältst dann eine Teleskopsumme, welche sich zu einem sehr einfachen Ausdruck vereinfachen lässt, woraus auch schon direkt die zu beweisende Abschätzung folgt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 23.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Gibt es für die zweite Aufgabe eine andere Möglichkeit, diese zu lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 23.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo Commotus,
natürlich gibt es weitere Möglichkeiten, so hat die Summe genau den Wert [mm] $\frac{\pi^2}{6}$. [/mm] Aber die von Hanno genannte Methode ist genau auf das Problem zugeschnitten und deshalb wohl auch die mit Abstand einfachste Methode dafür (übrigens eine alte DeMO-Aufgabe).
Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 23.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Kann man diese Aufgabe nicht ohne irgendwelches Abschätzen lösen?
Könnte wohl bitte wer die ersten Rechenschritte für das Lösen der Aufgabe nach Hannos Weg anbringen? Stehe gerade auf dem Schlauch..
Man kommt später auf 1/(i-1) - 1/i und ich kann die Summe nicht von von 1 an laufen lassen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 23.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Commotus!
Nein, wenn du die Aufgabe ohne Abschätzung lösen möchtest, musst du notwendiger Weise den exakten Wert der Reihe bestimmen (welcher, wie Daniel schon sagte, [mm] $\frac{\pi^2}{6}$), [/mm] was doch um einiges schwieriger ist.
Also, ich habe es so gemeint:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=2}^{n}\frac{1}{i(i-1)}=1+\summe_{i=2}^{n} \left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i-1}\right)$.
[/mm]
Das ist nun die Teleskopsumme,von der ich sprach. Sie lässt sich sehr gut vereinfachen und dann steht das Ergebnis schon da.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 23.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Sollte ich zum Schluss der Aufgabe noch einen Satz hinschreiben bzgl. der Abschätzung? Wenn ja, welchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Commotus!
Für $n=1$ ist die Behauptung ja klar, und für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt (beachte bitte, dass Hanno fälschlicherweie -aus Flüchtigkeit- einmal "=" geschrieben hatte):
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2} [/mm] < 1 + [mm] \sum\limits_{i=2}^n \frac{1}{i(i-1)} [/mm] = 1 + [mm] \sum\limits_{i=2}^n \left( \frac{1}{i} - \frac{1}{i-1} \right) [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{n} [/mm] < 2$.
Mehr brauchst du nicht hinzuschreiben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für eure Mühe.. :)
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