Vollständigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
| Aufgabe | Sei [mm] A\subset \IR^{n} [/mm] kompakt, f: A [mm] \to \IR^{m} [/mm] stetig.
zz [mm] \gamma [/mm] = [mm] {(x,y)\subset A\times \IR^{m}|f(x)=y} [/mm] kompakt in [mm] \IR^{n} \times \IR^{m} [/mm] |
Ich weiß dass stetige Fkt kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet, wollte aber selber zeigen dass f(X) kpt ist.
Habe mir eine bel. Cauchy Folge [mm] y_{k} [/mm] im [mm] \IR^{m} [/mm] gewählt, sodass [mm] d(y_{k}^{n},y_{k}^{m})< \epsilon [/mm] für n,m>N
Nun dachte ich da dies ja eine Cauchy Folge im [mm] \IR^{m} [/mm] ist, habe ich m Cauchy Folgen im [mm] \IR [/mm] d.h. [mm] (y_{k})_{i}
[/mm]
da diese aufgrund der Vollständigkeit des [mm] \IR [/mm] konv., konv auch die gesamte CF für [mm] N:=max{N_{1},...,N_{m}}
[/mm]
Irgendwie ist das für mich logisch aber nach ein bisschen Denken müsste ja somit jeder Teilraum des [mm] \IR^{n} [/mm] kpt sein, da man das immer auf den [mm] \IR [/mm] zurückführen kann. Wo ist der Denkfehler und wie geht es ggf richtig?
analog habe ich natürlich dann auch 2 kpt Räume A und f(X), wie folgt nun dass [mm] \gamma, [/mm] der Raum der (x,y) kpt ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]A\subset \IR^{n}[/mm] kompakt, f: A [mm]\to \IR^{m}[/mm] stetig.
> zz [mm]\gamma=\{(x,y)\subset A\times \IR^{m}|f(x)=y\}[/mm] kompakt in [mm]\IR^{n} \times \IR^{m}[/mm]
Also Anschaulich ist ja [mm] $\gamma$ [/mm] nix weiter als Der Graph von A unter der stetigen Abbildung f. Was mich etwas irritiert ist, dass du im Titel der Frage "Vollständigkeit" geschrieben hasrt, hier geht es aber anscheinend nur um Kompaktheit. Nunja, der eleganteste Ansatz ist sicherlich, die Abbildung [mm] $F:A\ni x\mapsto(x,f(x))\in A\times\IR^m$ [/mm] zu betrachten, und zu zeigen dass die stetig ist, dann ist [mm] $\gamma=F(A)$ [/mm] als stetiges Bild einer kompakten Menge kompakt.
> Ich weiß dass stetige Fkt kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet,
> wollte aber selber zeigen dass f(X) kpt ist.
Also willst du zeigen, dass [mm] \gamma [/mm] beschränkt und abgeschlossen ist...
> Habe mir eine bel. Cauchy Folge [mm]y_{k}[/mm] im [mm]\IR^{m}[/mm] gewählt,
> sodass [mm]d(y_{k}^{n},y_{k}^{m})< \epsilon[/mm] für n,m>N
Was soll das bringen? Was du zeigen musst für Abgeschlossenheit ist: [mm] $(y_k)\subset\gamma$ [/mm] konvergente Folge [mm] $\Rightarrow\lim_{k\to\infty}y_k\in\gamma$.
[/mm]
> analog habe ich natürlich dann auch 2 kpt Räume A und f(X)
Du meinst wohl: f(A) ist kompakt.
> wie folgt nun dass [mm]\gamma,[/mm] der Raum der (x,y) kpt ist?
Nun, [mm] $\gamma$ [/mm] hat mit den Mengen A und f(A) nicht sehr viel zu tun, zumindest seh ich hier keine Lösungsmöglichkeit, die nicht letztlich den oben von mir vorgeschlagenen Weg nimmt, aber ich lasse mich gern eines besseren belehren.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
Hallo,
wir haben den Satz dass die Aussage "vollständig und total beschränkt" äquivalent zur Folgenkompaktheit ist, dass aus der Beschränktheit im [mm] \IR^{n} [/mm] die totale Beschränkheit folgt, kann ich zeigen, d.h. es fehlt nur noch die Vollständigkeit. Und ich dachte da (x,y) ja aus Einträgen (A,f(A)) besteht, zeige ich zuerst dass f(A) kpt ist, ohne den Satz zu verwenden dass stetige Abb. kpt Mengen auf kpt Mengen abbilden.
D.h. ich muss zeigen dass jede beliebige Cauchy Folge in f(A) konv. Wie man dann aus der Kompaktheit von A und f(A) auf die von (A,f(A)) war dann am Ende noch zu zeigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> wir haben den Satz dass die Aussage "vollständig und total
> beschränkt" äquivalent zur Folgenkompaktheit ist, dass
> aus der Beschränktheit im [mm]\IR^{n}[/mm] die totale
> Beschränkheit folgt, kann ich zeigen, d.h. es fehlt nur
> noch die Vollständigkeit.
Du müsstest dann natürlich noch zeigen, dass [mm] $\gamma$ [/mm] beschränkt ist... ich nehme an das hast du bereits getan? Nun willst du also zeigen, dass [mm] \gamma [/mm] vollständig ist. Nimm dir also eine CF [mm] $(x_n,y_n)\subset\gamma$. [/mm] Dann ist [mm] (x_n) [/mm] eine CF in A und [mm] $(y_n)$ [/mm] eine in $f(A)$ (das muss man natürlich zeigen). Jetzt bräuchtest du nur noch die Kompaktheit (und damit Vollständigkeit) von f(A) und wärst fertig.
> Und ich dachte da (x,y) ja aus Einträgen (A,f(A)) besteht, zeige ich zuerst dass f(A) kpt
> ist, ohne den Satz zu verwenden dass stetige Abb. kpt Mengen auf kpt Mengen abbilden.
Also mir ist nicht klar wie du das beweisen willst, ohne damit automatisch den "Satz", den du nicht benutzen willst, automatisch mit-zu-beweisen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
> Du müsstest dann natürlich noch zeigen, dass [mm]\gamma[/mm]
> beschränkt ist... ich nehme an das hast du bereits getan?
Ja
> Nun willst du also zeigen, dass [mm]\gamma[/mm] vollständig ist.
> Nimm dir also eine CF [mm](x_n,y_n)\subset\gamma[/mm]. Dann ist
> [mm](x_n)[/mm] eine CF in A und [mm](y_n)[/mm] eine in [mm]f(A)[/mm] (das muss man
> natürlich zeigen).
Und wie zeige ich das? Ist es nicht fast offensichtlich dass eine Cauchy Folge über 2 Einträge x,y jeweils 2 CF in x und y impliziert, da dies ja für beide Einträge und n>N gilt? Anderherums natürlich dann auch ebenso sofern man [mm] N:=max(N_{1}...) [/mm] wählt?
> > Und ich dachte da (x,y) ja aus Einträgen (A,f(A)) besteht,
> zeige ich zuerst dass f(A) kpt
> > ist, ohne den Satz zu verwenden dass stetige Abb. kpt
> Mengen auf kpt Mengen abbilden.
> Also mir ist nicht klar wie du das beweisen willst, ohne
> damit automatisch den "Satz", den du nicht benutzen willst,
> automatisch mit-zu-beweisen.
>
> Gruß, Robert
Um z.b. die Kompaktheit von f(A) zu zeigen möchte ich dies auf den [mm] \IR [/mm] zurückführen, da dort ja jede CauchyFolge konvergiert.
Ist es richtig wie ich gerade schon angenommen hab dass eine "n-dimensionale" CF n 1-dim. CF impliziert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ist es richtig wie ich gerade schon angenommen hab dass
> eine "n-dimensionale" CF n 1-dim. CF impliziert?
Kommt halt drauf an, welche Metrik du auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] gewählt hast. Aber mit den Standartsachen, also z.B. wenn du die von einer Norm induzierte Metrik nimmst, gilt das:
In Büchern macht man es z.B. oft so: Hat man eine endliche Folge [mm] $(X_i, d_i)_{i=1}^n$ [/mm] von metrischen Räumen, dann hat man auf [mm] $X:=X_1\times...\times X_n$ [/mm] die kanonische Produktmetrik [mm] $d(x,y):=\max_i d_i(x_i, y_i)$. [/mm] Für diese Produktmetrik gilt offensichtlich [mm] $$(x_n)\subset X\text{ CF }\gdw ((x_i)_n)\subset X_i\text{ CF für alle }i=1,...n$$ [/mm] Nun der eigentliche Witz: Für den Fall [mm] $(X_i,d_i)=(\IR,|\cdot|) [/mm] für i=1,...,n erhält man als Produktmetrik auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] genau die von der [mm] \infty-Norm [/mm] induzierte Metrik und, da alle Normen auf [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent zu dieser sind, hat man damit für jede von einer Norm induzierte Metrik [mm] \tilde{d} [/mm] die Äquivalenz [mm] $$(x_n)\subset X\text{ CF bzgl. }\tilde{d}\gdw(x_n)\subset X\text{ CF bzgl. }d\gdw ((x_i)_n)\subset X_i\text{ CF bzgl. }|\cdot|\text{ für alle }i=1,...n$$ [/mm] Insbesondere also z.B. für die euklidische Metrik usw.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
Dann ist es ja eigentlich witzlos zu zeigen dass eine CF, die sich in einem Teilraum des [mm] \IR^{n} [/mm] befindet, konvergiert oder sehe ich das falsch?
Das einzig interessante ist dann, dass sie IM Teilraum konvergiert, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Dann ist es ja eigentlich witzlos zu zeigen dass eine CF,
> die sich in einem Teilraum des [mm]\IR^{n}[/mm] befindet,
> konvergiert oder sehe ich das falsch?
Nun, die Vollständigkeit des [mm] $\IR^n$ [/mm] folgt mit eben diesen von mir erwähnten Argumenten direkt aus der Vollständigkeit von [mm] $\IR$, [/mm] ja.
Gruß, Robert
|
|
|
|
