Volumen, Zylinderkoordinaten < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Di 20.01.2009 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für 0< ßrho < R das Volumen des Torus
T={ [mm] (x,y,z)\in \IR^{3} [/mm] : [mm] z^{2} [/mm] + [mm] (\wurzel{x^{2} +y^{2} } -R)^{2} <\rho^{2} [/mm] }
Tipp: Zylinderkoordinaten |
Hallo!
Ist wahrscheinlich nicht so schwer, aber ich weiß nicht, wie ich dieses Voumen berechnen soll.
Da ich mich mit Zylinderkoordinaten nicht auskannte, hab ich mich mal informiert und weiß, wie man die gegebenen kartesischen Korrdinaten in Zylinderkoordinaten umrechnet (denk ich zumindest).
Zum Thema "Volumenberechnung" hab ich gefunden:
Volumen = dV = [mm] \rho d\rho d\phi [/mm] dz = dxdydz,
wobei [mm] \rho [/mm] = Radius (Strecke vom Ursprung zur Projektion des Punktes auf xy-Ebene)
und [mm] \phi [/mm] = Winkel zwischen x-Achse und der Strecke Ursprung-Projektion des Punktes)
Leider kann ich mit der Formel nichts anfangen; die erste Frage, die sich mir stellt:
heißt dieses "d" (dx, [mm] d\rho [/mm] usw), dass ich die gegebene Koordinatendarstellung nach dem jew. Buchstaben ableiten muss?
Oder muss ich integrieren?
Wäre toll, wenn mir jemand Starthilfe gibt!
Da ich so eine Aufgabe noch nicht gemacht habe, kriege ich keinen Anfang.
Danke!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Casy,
> Bestimmen Sie für 0< ßrho < R das Volumen des Torus
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> T={ [mm](x,y,z)\in \IR^{3}[/mm] : [mm]z^{2}[/mm] + [mm](\wurzel{x^{2} +y^{2} } -R)^{2} <\rho^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
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> Tipp: Zylinderkoordinaten
> Hallo!
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> Ist wahrscheinlich nicht so schwer, aber ich weiß nicht,
> wie ich dieses Voumen berechnen soll.
> Da ich mich mit Zylinderkoordinaten nicht auskannte, hab
> ich mich mal informiert und weiß, wie man die gegebenen
> kartesischen Korrdinaten in Zylinderkoordinaten umrechnet
> (denk ich zumindest).
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> Zum Thema "Volumenberechnung" hab ich gefunden:
> Volumen = dV = [mm]\rho d\rho d\phi[/mm] dz = dxdydz,
> wobei [mm]\rho[/mm] = Radius (Strecke vom Ursprung zur Projektion
> des Punktes auf xy-Ebene)
> und [mm]\phi[/mm] = Winkel zwischen x-Achse und der Strecke
> Ursprung-Projektion des Punktes)
>
> Leider kann ich mit der Formel nichts anfangen; die erste
> Frage, die sich mir stellt:
>
> heißt dieses "d" (dx, [mm]d\rho[/mm] usw), dass ich die gegebene
> Koordinatendarstellung nach dem jew. Buchstaben ableiten
> muss?
> Oder muss ich integrieren?
Da musst Du nicht ableiten.
[mm]dx, \ d\rho, \ d\phi, \ dz[/mm] geben nur die Integrationsvariablen an.
dx heißt, daß Du nach x integrierst.
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> Wäre toll, wenn mir jemand Starthilfe gibt!
>
> Da ich so eine Aufgabe noch nicht gemacht habe, kriege ich
> keinen Anfang.
>
> Danke!
Gruß
MathePower
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Hallo Casy,
müssen es wirklich Zylinderkoordinaten sein ?
Man kann das Volumen nämlich auch in der
von der Schule her gewohnten Weise als
Rotationskörper-Volumen berechnen.
Rotationsachse ist die z-Achse; die Integra-
tion geht von [mm] z=-\rho [/mm] bis [mm] z=+\rho [/mm] ; die beiden
zu betrachtenden Funktionsgraphen sind
$\ [mm] x_{1,2}(z)=\ R\pm\wurzel{\rho^2-z^2}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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