Wärmeleitungsgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll eine möglichst allgemeine Lösung der Wärmleitungsgleichung [mm] u_{t}=u_{xx} [/mm] mit den Bedingungen u (0,t)=u(1,t)=0
Nach ein bisschen Rechnen komme ich auf folgendes Ergebnis
[mm] u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}
[/mm]
Nur wie gehe ich mit den Bedingungen um?
Ich hätte nun u(0,t)=(1,t)=0 eingesetzt und würde auf folgende 2 GL kommen
[mm] A*e^{ \lambda t}+B*e^{ \lambda t}=0
[/mm]
[mm] A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}=0
[/mm]
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Hallo racy90,
> Hallo
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> Ich soll eine möglichst allgemeine Lösung der
> Wärmleitungsgleichung [mm]u_{t}=u_{xx}[/mm] mit den Bedingungen u
> (0,t)=u(1,t)=0
>
> Nach ein bisschen Rechnen komme ich auf folgendes Ergebnis
>
> [mm]u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}[/mm]
>
Das ist doch nur die Lösung, wenn [mm]\lambda > 0[/mm].
Es gibt auch noch Lösungen für [mm]\lambda=0, \ \lambda < 0[/mm].
> Nur wie gehe ich mit den Bedingungen um?
>
> Ich hätte nun u(0,t)=(1,t)=0 eingesetzt und würde auf
> folgende 2 GL kommen
>
Setze die Anfangsbedingungen in die Lösungsfunktionen ein,
und schaue ob etwas sinnvolles herauskommt.
> [mm]A*e^{ \lambda t}+B*e^{ \lambda t}=0[/mm]
> [mm]A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}=0[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Das sind ja meine 2 GL wenn ich die 2 Randbedingungen einsetze
[mm] A\cdot{}e^{ \lambda t}+B\cdot{}e^{ \lambda t}=0
[/mm]
[mm] A\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ \wurzel \lambda x}+B\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ - \wurzel \lambda x}=0 [/mm]
Aber wie soll ich hier etwas sinnvolles rausbekommen?
A=B=0 wäre die einfachste Lösung
A=-B wäre auch eine Lösung
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Hallo racy90,
> Das sind ja meine 2 GL wenn ich die 2 Randbedingungen
> einsetze
>
> [mm]A\cdot{}e^{ \lambda t}+B\cdot{}e^{ \lambda t}=0[/mm]
>
> [mm]A\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ \wurzel \lambda x}+B\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ - \wurzel \lambda x}=0[/mm]
>
>
> Aber wie soll ich hier etwas sinnvolles rausbekommen?
>
> A=B=0 wäre die einfachste Lösung
> A=-B wäre auch eine Lösung
>
Hier hast Du nur die Lösung für [mm]\lambda >0[/mm] untersucht.
Die anderen beiden möglichen Lösungen,
das sind die Lösungen für [mm]\lambda=0[/mm] und [mm]\lambda<0[/mm],
sind noch zu untersuchen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich nun den Fall [mm] \lambda [/mm] =0 untersuche sehen meine Gleichungen so aus
B=-A
[mm] B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}
[/mm]
Für [mm] \lambda [/mm] <0 sehen sie doch so aus
B=-A
[mm] B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}
[/mm]
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Hallo racy90,
> Wenn ich nun den Fall [mm]\lambda[/mm] =0 untersuche sehen meine
> Gleichungen so aus
>
> B=-A
> [mm]B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}[/mm]
>
> Für [mm]\lambda[/mm] <0 sehen sie doch so aus
>
> B=-A
> [mm]B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}[/mm]
>
Poste doch Deine Rechenschritte dazu.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja wenn [mm] \lambda [/mm] =0
Bleibt für ja nur A und B stehen weil [mm] e^{ \lambda t} [/mm] ja 1 ist also B=-A
Wenn [mm] \lambda [/mm] <0
Kann ich [mm] e^{ \lambda t} [/mm] und [mm] e^{wurzel \lambda x} [/mm] zusammenfassen und auf die andere Seite bringen.
Somit [mm] B=-Ae^{2\wurzel \lambda x}
[/mm]
Aber ich bin mir sehr unsicher und lass mich hier eigentlich von Wolfram Alpha leiten :/
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Hallo racy90,
> Naja wenn [mm]\lambda[/mm] =0
>
> Bleibt für ja nur A und B stehen weil [mm]e^{ \lambda t}[/mm] ja 1
> ist also B=-A
>
> Wenn [mm]\lambda[/mm] <0
>
> Kann ich [mm]e^{ \lambda t}[/mm] und [mm]e^{wurzel \lambda x}[/mm]
> zusammenfassen und auf die andere Seite bringen.
>
> Somit [mm]B=-Ae^{2\wurzel \lambda x}[/mm]
>
> Aber ich bin mir sehr unsicher und lass mich hier
> eigentlich von Wolfram Alpha leiten :/
Ausgehend von
[mm]u_{t}=u_{xx}[/mm]
und dem Ansatz
[mm]u\left(x,t\right)=T\left(t\right)*X\left(x\right)[/mm]
erhält man
[mm]\bruch{T'}{T}=\bruch{X''}{X}=\lambda, \ \lambda \in \IR[/mm]
bzw.
[mm]T'-\lambda*T=0[/mm]
[mm]X''-\lambda*X=0[/mm]
Jetzt löse diese DGL in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm].
Für jede Lösung musst Du dann schauen,
was sich mit den geforderten Anfangsbedingungen ergibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Also bis zu der unten angebenen Gleichung [mm] u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{- \wurzel \lambda x}
[/mm]
bin ich schon selbst gekommen aber ich kann leider nichts mit den Randbedinungen anfangen.Wie und wo ich sie einsetzen soll damit ich nun endlich eine Lösung erhalte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 03.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn aus A=-B zu [mm] A=-B*e^{--}? [/mm] das passt doch nicht zusammen?
und was ist mit den neg lambda, also den Lösungen [mm] sin(|\lambda|*x) [/mm] usw?
warum gehst du nicht darauf ein? dass u=0 eine triviale Lösung ist gehört dazu..
Gruß leduart
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