Was heisst "exp" in Wolfram? < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mo 18.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
In der vierten Zeile der folgenden Lösungsschritte bei WolframAlpha
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
erscheint die Abkürzung "exp". Obwohl ich der Lösung im ganzen folgen kann, ist mir nicht recht klar, wie die Abkürzung zu verstehen ist. G.R.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mo 18.08.2014 | | Autor: | lupi5 |
Bei der exp()-Funktion handelt es sich um die Exponentialfunktion zur Basis e = 2,718281828... (der eulerschen Zahl).
Also exp(x) = [mm] e^x.
[/mm]
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Hallo,
kleiner Zusatz: dass wolframalpha/Mathematica (und andere CAS-Systeme natürlich auch) die Exponentialfunktion so schreiben, also
[mm] exp(x):=e^x
[/mm]
hat den einfachen Grund, dass diese Schreibweise in der akademischen Literatur weit verbreitet ist, insbesondere im angloamerikanischen Raum.
Gruß, Diophant
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Nunja, es hat noch nen weiteren Grund. (Oder eher Vorteil)
Die e-Funktion kommt sehr sehr häufig vor, und der Exponent ist gerne auch mal länglich. Grade die Quantenphysik spielt sich zu sehr großen Teilen im Exponenten ab, und manchmal nimmt man das Blatt am besten quer.
Dann ist die exp-schreibweise ganz praktisch, weil man den Exponenten dann "normal" schreiben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 18.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
Vielleicht irre ich mich gewaltig, aber bei uns wurde in
Analysis I zunächst die Exponentialfunktion eingeführt und
erst kurz spätet wurde dann der folgende Satz bewiesen:
[mm] \exp(x)=e^x [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Folglich wurde
[mm] e^x:=\exp(x) [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
festgelegt.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Mo 18.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielleicht irre ich mich gewaltig, aber bei uns wurde in
> Analysis I zunächst die Exponentialfunktion eingeführt
> und
> erst kurz spätet wurde dann der folgende Satz bewiesen:
>
> [mm]\exp(x)=e^x[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
nein, Du irrst Dich nicht. Man kann
[mm] $\exp(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)$
[/mm]
sogar für $x [mm] \in \IC$ [/mm] DEFINIEREN. Denn diese Reihe konvergiert absolut für alle
$x [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
Dann kann man
[mm] $\exp(1)=\lim_{n \to \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n$
[/mm]
nachweisen - es ist also egal, ob man [mm] $e:=\lim_{n \to \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n$ [/mm] setzt,
oder erst [mm] $e:=\exp(1)$ [/mm] und dann diese Gleichheit nachweist. Jedenfalls
sollte [mm] $e\,$ [/mm] mal definiert worden sein, und eine zweite Darstellung erhält
man dann mithilfe dieser Gleichung.
(Allgemeiner kann man
[mm] $\exp(z)=\lim_{n \to \infty} (1+\tfrac{z}{n})^n$
[/mm]
beweisen (dabei $z [mm] \in \IC$).)
[/mm]
Nun ist [mm] $e\,=\exp(1)=\lim_{n \to \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n$ [/mm] eine positive Zahl. Die Exponentialfunktion
[mm] $\IC \ni [/mm] z [mm] \mapsto \exp(z) \in \IC\,$
[/mm]
hat wunderbare Eigenschaften:
So ist (wegen [mm] $\exp(w+z)=\exp(w)*\exp(z)$ [/mm] - das kann man mit dem Cauchyprodukt
nachrechnen!)
[mm] $\exp(n)=\exp(\sum_{k=1}^n 1)=\produkt_{k=1}^n \exp(1)=e^n$
[/mm]
für natürliches $n [mm] \in \IN$ [/mm] und es ist
[mm] $\exp(-n)=(\exp(n))^{-1}$
[/mm]
wegen [mm] $\exp(-n+n)=\exp(0)=1\,.$ [/mm] Also auch
[mm] $e^{-n}=\exp(-n)\,.$
[/mm]
Damit sollte man
[mm] $\exp(q)=e^{q}$ [/mm] für $q [mm] \in \IQ$
[/mm]
nachweisen können.
Daher ist es naheliegend
[mm] $e^r:=\exp(r)$
[/mm]
für $r [mm] \in \IR$ [/mm] zu definieren, bzw. noch allgemeiner
[mm] $e^{z}:=\exp(z)$ [/mm] für $z [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
(Wie schön das ist wird man spätestens bei der Behandlung der
Potenzreihentheorie sehen!)
Man beachte oben: [mm] $e^q$ [/mm] für $q [mm] \in \IQ$ [/mm] ist unabhängig von der Darstellung des
Bruches $q [mm] \in \IQ\,.$ [/mm] Ist etwa $q=m/n$ mit $m [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IZ \setminus \{0\}\,,$ [/mm] so ist
[mm] $e^q:=(\sqrt[|n|]{e^{|m|}})^{\text{sign}(q)}\,.$
[/mm]
Und die [mm] $|n|\,$-ten [/mm] Wurzeln ($n [mm] \in \IZ$) [/mm] aus nichtnegativen Zahlen kann man auch ohne
[mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] definieren.
P.S. Das heißt aber nicht, dass es keine andere Möglichkeiten zur Definition
von [mm] $e^z$ [/mm] gäbe. Im Endeffekt wird den Computer/den Programmierer hier aber
eh nur interessieren, wie man [mm] $e^z$ [/mm] möglichst effizient (auf möglichst viele
Nachkommastellen genau) berechnet. Was die Theorie dahinter angeht
(was [mm] $e^r$ [/mm] für $r [mm] \in \IR$ [/mm] oder gar [mm] $e^z$ [/mm] für $z [mm] \in \IC$ [/mm] *wirklich* ist bzw. sein
soll), ist vermutlich eher nebensächlich.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 19.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Dank an alle für alle Antworten! G.R.
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