Wert einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 06.05.2006 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der Potenzreihe
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} nx^{n} [/mm] |
Den Konvergenzradius hatte ich schnell bestimmt.
Mir fehlt jetzt überhaupt eine Idee, ein Ansatz, wie ich diesen Wert berechnen kann.
Danke,
slash.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo slash!
> Berechnen Sie den Wert der Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} nx^{n}[/mm]
Der uebliche Trick bei solchen Potenzreihen ist, diese als Ableitung einer anderen Potenzreihe zu schreiben. Wenn du $x$ ausklammerst und dir den Rest anschaust, bekommst du da eine Idee wovon das die Ableitung sein koennte?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 07.05.2006 | | Autor: | slash |
Das dachte ich auch.
Aber die geometrische Reihe startet doch beim index 0 und nicht eins ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 So 07.05.2006 | | Autor: | slash |
Jut.
Jetzt sehe ich es.
VIelen Dank,
slash
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo slash!
Selbst wenn es nicht gepasst haette, dann gibts immer noch die Methode 'hinzuaddieren und abziehen', etwa so: [mm] $\sum_{n=2}^\infty x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty x^n [/mm] - [mm] x^1 [/mm] - [mm] x^0 [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - x} [/mm] - x - 1 = [mm] \frac{1}{1 - x} [/mm] - [mm] \frac{(x + 1) (1 - x)}{1 - x} [/mm] = [mm] \frac{1 - (1 - x^2)}{1 - x} [/mm] = [mm] \frac{x^2}{1 - x}$.
[/mm]
Oder passend ausklammern: [mm] $\sum_{n=2}^\infty x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty x^{n+2} [/mm] = [mm] x^2 \sum_{n=0}^\infty x^n [/mm] = [mm] \frac{x^2}{1 - x}$.
[/mm]
LG Felix
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