Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Untersuche mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz/Divergenz!
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k} [/mm] |
[mm] \bruch{\wurzel[k]{2^kk^3+2}}{\wurzel[k]{2+(-5)^k}}
[/mm]
So wie es hier steht kann ich die Wurzel ja nicht auflösen. Die einzige Idee dazu ist:
[mm] \bruch{\wurzel[k]{2^k(k^3+\bruch{2}{2^k}}}{\wurzel[k]{2+(-5)^k}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*\wurzel[k]{(k^3+\bruch{2}{2^k}}}{\wurzel[k]{2+(-5)^k}}
[/mm]
Kann ich im Nenner noch was ausklammern? [mm] (-5)^k [/mm] vielleicht?
Dann würde die Reihe aber für k gegen unendlich gegen -2/5 gehen
LG
heinze
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo heinze,
> Untersuche mit dem Wurzelkriterium auf
> Konvergenz/Divergenz!
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}[/mm]
> [mm]\bruch{\wurzel[k]{2^kk^3+2}}{\wurzel[k]{2+(-5)^k}}[/mm]
Du schreibst einfach immer ohne Zusammenhang, was und warum Du das
da machst. Aber ich weiß ja, was Du meinst. Warum Du an Worten sparst,
und warum das bei vielen "als gut" in der Mathematik anzusehen sei, ist
mir absolut unklar. Das Gegenteil ist der Fall, lieber mal etwas unnötig und
zu viel erläutert, als umgekehrt. Das merkt man in so einem Forum übrigens
sehr deutlich, oder soll ich Dir etwa diesen kleinen Textabschnitt hier mal
formal nur mit Symbolen schreiben?
Du hast oben Beträge vergessen, richtig ist:
Wir betrachten
[mm] $$\sqrt[k]{\left|\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}\right|}$$
[/mm]
und davon nachher den [mm] $\limsup_{k \to \infty}\,.$
[/mm]
Tipp:
Beweise
[mm] $$\sqrt[k]{\left|\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}\right|} \le \sqrt[k]{\left|\bruch{2^kk^3+2^k}{2+(-5)^k}\right|} \le \sqrt[k]{\bruch{2^kk^3+2^k}{3^k}}\le \sqrt[k]{\bruch{2^kk^3+2^kk^3}{3^k}}$$
[/mm]
Jetzt brauchst Du noch sowas wie [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ (und damit auch [mm] $\sqrt[n]{n^3}=(\sqrt[n]{n})^3 \to 1^3=1\,.$)
[/mm]
Hinweis: [mm] $\sqrt[k]{\bullet}$ [/mm] ist (für jedes $k [mm] \in \IN$) [/mm] streng wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
