(Z / p^n Z )* Beispiel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Wie in meinen letzten Beitrag geht es hier auch um [mm] ( \mathbb Z / p^n \mathbb Z )^{ \* } [/mm]. Trotz der Tatsache, dass ich zu meinen letzten Beitrag noch viele offene Fragen habe, versuchte ich das folgende Beispiel aus der Vorlesung nachzuvollziehen, um vielleicht mehr Verständnis zu erlangen. Aber auch hier kommen Veständnisprobleme auf :-(.
Beispiel :
[mm] ( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z [/mm].
[mm] ( \mathbb Z / 8 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z [/mm].
( Das dies gilt , weiß ich nun nach dem dazugehörigem Satz, dennoch steht dann bei mir in der Vorlesung noch die folgende Nebenrechnung, deren Sinn ich nicht wirklich nachvollziehen kann: Und zwar
[mm] 3^2 = 1 \mod 8 [/mm]
[mm] 5^2 = 1 \mod 8 [/mm]
[mm] 7^2 = 1 \mod 8 [/mm]
Warum rechnen wir das als Kontrolle für die Elemente von
[mm] ( \mathbb Z / 8 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 \} [/mm] ?
Dann noch die folgende Bemerkung zu dieser Gruppe:
Wenn gelten würde
[mm] \cong \mathbb Z / 4 \mathbb Z [/mm] , muss es ein Element geben, dessen Quadrat ungleich 1 ist !
Warum? )
[mm] ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 , 9, 11, 13, 15 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 4 \mathbb Z [/mm].
( Ab hier verstehe ich leider nicht was man hier macht, warum man diese Untergruppe bildet und zum welchen Ziel das führen soll ... )
Sei [mm] U_5 := \langle 5 \rangle \subsetin ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1, 5, 9, 13, 1 \} [/mm]
Dies ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 4.
Sei [mm] U_2 := \langle -1 \rangle = \{ -1, 1 \} [/mm]
Es gilt [mm] U_2 \cong \mathbb Z / 2 \mathbbZ [/mm] und [mm] U_5 \cong \mathbb Z / 4 \mathbbZ [/mm] ( Warum gilt dies ? )
[mm] U_2, U_5 \le ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* } [/mm] ( Warum gilt dies ? )
Sei [mm] U_2 \times U_5 := \lambda [/mm]
Betrachte [mm] \lambda [/mm] definiert durch:
[mm] \lambda (x,y) = x \cdot y [/mm]
[mm] \lambda : U_2 \time U_5 \to ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* } [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus.
Wir zeigen:
[mm] \lambda [/mm] ist injektiv
( In der Vorlesung steht noch als "Gedankengang" : [mm] | U_2 \times U_5 | = 8 = | ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* } | [/mm].
Warum ist die Ordung von [mm] [mm] | U_2 \times U_5 = 8 [/mm] ? )
Daraus folgt, dass [mm] [mm] \lambda [\mm [/mm] surjektiv und damit ein Isomorphismus.
( Diese Folgerung versteh ich absolut nicht ....)
Sei [mm] (x,y) \in U_2 \times U_5 [/mm] mit [mm] \lambda (x,y) = 1 [/mm]
Zu zeigen:
[mm] x = 1 [/mm] und [mm] y = 1 [/mm].
Dies ist nach der Liste klar.
( Warum ist das klar und warum zeigt man, dass [mm] \lambda (x,y) = 1 [/mm] gilt für [mm] x=1 [/mm] und [mm] y = 1 [/mm] ? )
Sei [mm] U_5 [/mm]die Gruppe dei von 5 in [mm] ( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{ \* } [/mm] erzeugt wird.
Es gilt : [mm] | U_5 | = 2^{n-2 } [/mm]
Weil: [mm] 5^{2^{ l - 3 }} \equiv 1 + 2^{l - 1 } \mod 2^l \ \forall l \ge 3 [/mm] ( Warum dieser Ansatz ? )
[mm] \Rightarrow ord ( 5 ) \ne 2^{ l - 3 } [/mm] in [mm] ( \mathbb Z / 2^l \mathbb Z )^{ \* } [/mm] ( Warum ? )
Aber:
( Ab hier versteh ich leider nichts! )
[mm] 5^{2^{ l - 3 + 1 }} = ( 1 + 2^{l - 1 } ) ^2 \mod 2^l [/mm]
[mm] \Rightarrow 5^{2^{ l - 2 }} = 1 \mod 2^l [/mm]
[mm] \Rightarrow ord (5) = 2^{ l - 2 }[/mm]
[mm] \Rightarrow | U_5 | = 2^{l - 2 } [/mm].
So, das war das Beispiel, von dem ich leider nicht so viel verstanden habe, ausser, dass wir am Ende gezeigt haben, dass die von 5 erzeugte Gruppe der Ordnung [mm] 2^{l - 2 } [/mm] ist.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, bei meinen zahlreichen Fragen :-(.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 18.10.2008 | | Autor: | PeterB |
Guten Tag noch mal. Zuerst sei mir die Bemerkung gestattet, dass das kein Beispiel sonder(zumindest der hintere Teil) der Beweis zu deinem Satz ist, den du ja vermisst hast!
> Wie in meinen letzten Beitrag geht es hier auch um [mm]( \mathbb Z / p^n \mathbb Z )^{ \* } [/mm].
> Trotz der Tatsache, dass ich zu meinen letzten Beitrag noch
> viele offene Fragen habe, versuchte ich das folgende
> Beispiel aus der Vorlesung nachzuvollziehen, um vielleicht
> mehr Verständnis zu erlangen. Aber auch hier kommen
> Veständnisprobleme auf :-(.
Ich glaube, ich habe einige Fragen schon im letzten Beitrag beantwortet, ich schreibe mal was meiner Meinung nach noch fehlt:
>
> Beispiel :
>
> [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z [/mm].
>
> [mm]( \mathbb Z / 8 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z [/mm].
>
>
> ( Das dies gilt , weiß ich nun nach dem dazugehörigem Satz,
Nein das weiß man nach der Beschreibung der Einheiten. (-> siehe andere Diskusion.)
> dennoch steht dann bei mir in der Vorlesung noch die
> folgende Nebenrechnung, deren Sinn ich nicht wirklich
> nachvollziehen kann: Und zwar
>
Wir wissen: $( [mm] \mathbb [/mm] Z / 8 [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] )^{ \* } [/mm] $ ist eine abelsche Gruppe mit 4 Elementen: 1, 3, 5,7. Aber es gibt zwei Isomorphieklassen von solchen Gruppen: Die additiven Gruppen [mm] $\mathbb [/mm] Z/4 [mm] \mathbb [/mm] Z$ und [mm] $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb [/mm] Z$. Der Satz sagt aus, dass es die zweite ist. Das wollen wir jetzt per Hand überprüfen. Dabei machen wir uns zu nutze, das [mm] $\mathbb [/mm] Z/4 [mm] \mathbb [/mm] Z$ zwei Elemente der Ordnung 4 enthält: 1 und 3. Wir rechnen jetzt nach:
> [mm]3^2 = 1 \mod 8[/mm]
> [mm]5^2 = 1 \mod 8[/mm]
> [mm]7^2 = 1 \mod 8[/mm]
>
Also haben die Elemente 3,5,7 Ordnung 2 und 1 hat (wie immer) Ordnung 1. D.h. Wir haben für diese Gruppe die Behauptung des Satzes nachgerechent.
>
> [mm]( \mathbb Z / 16 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 , 9, 11, 13, 15 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 4 \mathbb Z [/mm].
>
>
> ( Ab hier verstehe ich leider nicht was man hier macht,
> warum man diese Untergruppe bildet und zum welchen Ziel
> das führen soll ... )
Das sind die gleichen Rechnungen wie in meinem Beweis. Erst in dem Spezialfall [mm] $(\mathbb [/mm] Z/16 [mm] \mathbb Z)^\times$ [/mm] und dann allgemein. Versuch mal eine von den Rechnungen nachzuvollziehen, und melde dich dann noch mal.
Gruß
Peter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:35 Di 21.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo wieder  !
Bevor ich nun gleich anfange das Ganze auf das Beispiel
[mm] ( \mathbb Z / 16 \cdot \mathbb Z )^{\*} [/mm] zu anzuwenden, hätte ich noch ein paar Kleinigkeiten zu diesem Artikel... ( auch auf die Gefahr hin, mittlerweile zu nerven, da ich so schwer vom Begriff bin SORRY )
> > Beispiel :
> >
> > [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z [/mm].
>
> >
> > [mm]( \mathbb Z / 8 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 \} \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z [/mm].
>
> >
> >
> > ( Das dies gilt , weiß ich nun nach dem dazugehörigem Satz,
> Nein das weiß man nach der Beschreibung der Einheiten. (->
> siehe andere Diskusion.)
Nach der Beschreibung der Einheiten gelten doch die Elemente von
[mm] ]( \mathbb Z / 8 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 \} [/mm], aber der Isomorphismus nach dem Satz?
> > dennoch steht dann bei mir in der Vorlesung noch die
> > folgende Nebenrechnung, deren Sinn ich nicht wirklich
> > nachvollziehen kann: Und zwar
> >
> Wir wissen: [mm]( \mathbb Z / 8 \mathbb Z )^{ \* }[/mm] ist eine
> abelsche Gruppe mit 4 Elementen: 1, 3, 5,7. Aber es gibt
> zwei Isomorphieklassen von solchen Gruppen: Die additiven
> Gruppen [mm]\mathbb Z/4 \mathbb Z[/mm] und [mm]\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z[/mm].
> Der Satz sagt aus, dass es die zweite ist.
Ok. Das es die zweite Isomorphieklasse ist sehe ich ein... Aber was überprüfen wir jetzt genau ?
> Das wollen wir
> jetzt per Hand überprüfen. Dabei machen wir uns zu nutze,
> das [mm]\mathbb Z/4 \mathbb Z[/mm] zwei Elemente der Ordnung 4
> enthält: 1 und 3.
Was nutzt uns denn dass [mm]\mathbb Z/4 \mathbb Z[/mm] zwei Elemente der Ordnung 4 enthält: 1 und 3. ?
> Wir rechnen jetzt nach:
>
> > [mm]3^2 = 1 \mod 8[/mm]
> > [mm]5^2 = 1 \mod 8[/mm]
> > [mm]7^2 = 1 \mod 8[/mm]
Warum wir nun [mm] 1 \mod 8[/mm] rechnen, habe ich nun verstanden ...Und das wir damit gezeigt haben, dass die Elemente 3, 5, 7 der Ordnung 2 sind.
> Also haben die Elemente 3,5,7 Ordnung 2 und 1 hat (wie
> immer) Ordnung 1. D.h. Wir haben für diese Gruppe die
> Behauptung des Satzes nachgerechent.
Aber warum haben wir die Behauptung nachgewiesen... Inwiefern haben wir nun die Isomorphie gezeigt?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:27 Di 21.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
So, nun probiert ich den letzten Teil meiner Frage zu bearbeiten...
> [mm]( \mathbb Z / 16 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1,3 ,5, 7 , 9, 11, 13, 15 \} > \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 4 \mathbb Z [/mm].
So, wenn ich das nun richtig sehe, dann haben wir hier nun 2 Untergruppen [mm] U_2, U_5 [/mm] von [mm]( \mathbb Z / 16 \mathbb Z )^{ \* } [/mm]
> Sei [mm]U_5 := \langle 5 \rangle \subsetin ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1, 5, 9, 13, 1 \}[/mm]
>
> Dies ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 4.
Also, dies ist dann die vom Element 5 erzeugte zyklische Untergruppe, der Ordnung 4, da sie aus 4 Elementen besteht?
> Sei [mm]U_2 := \langle -1 \rangle = \{ -1, 1 \}[/mm]
Und dies ist die von -1 erzeugte Untergruppe der Ordnung 2 ?
> Es gilt [mm]U_2 \cong \mathbb Z / 2 \mathbbZ[/mm]
> und [mm]U_5 \cong \mathbb Z / 4 \mathbbZ[/mm] ( Warum gilt dies ?
Dies versteh ich leider immernoch nicht ganz :-(. Warum gilt das?
> [mm]U_2, U_5 \le ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* }[/mm]
>
> Sei [mm]U_2 \times U_5 := \lambda[/mm]
> Betrachte [mm]\lambda[/mm] definiert
> durch:
>
> [mm]\lambda (x,y) = x \cdot y[/mm]
>
> [mm]\lambda : U_2 \time U_5 \to ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* }[/mm]
> ist ein Gruppenhomomorphismus.
> Wir zeigen:
> [mm]\lambda[/mm] ist injektiv
Also konstriuren wir hier einen Gruppenhomomorphismus zwischen dem Kreuzprodukt der beiden Untergruppen und [mm] ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* } [/mm], wobei wir das x aus der einen Untergruppe und das y aus der anderen Untergruppe nehmen.
Aber warum ist das injektiv und vorallem warum ist es erforderlich, dass es injektiv ist? Weil wir einen Isomorphismus konstriuren wollen?
> ( In der Vorlesung steht noch als "Gedankengang" : [mm]| U_2 \times U_5 | = 8 = | ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* } | [/mm].
>
> Warum ist die Ordung von [mm][mm]| U_2 \times U_5 = 8[/mm] ? )
Ist dies der Fall weil das Bild dieses Gruppemhomomorphismus gerade
[mm] ( \mathbb Z / 16 \mathbb Z)^{ \* } [/mm] ist , und dies aus 8 Elementen besteht?
> Daraus folgt, dass [mm][mm]\lambda [\mm[/mm] surjektiv und damit ein > Isomorphismus.
Diese Folgerung kann ich nicht verstehen... Warum ist das so?
> Sei [mm](x,y) \in U_2 \times U_5[/mm] mit [mm][mm] \lambda [/mm] (x,y) = 1[/mm
> Zu zeigen:
> [mm]x = 1[/mm] und [mm]y = 1 [/mm].
> Dies ist nach der Liste klar.
Warum ist das klar und warum zeigt man, dass [mm]\lambda (x,y) = 1[/mm] gilt für [mm]x=1[/mm] und [mm]y = 1[/mm] ? )
Wenn ich das richtig sehe, betrachten wir hier das nun allgemeiner..
> Sei [mm]U_5 [/mm]die Gruppe dei von 5 in [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{ \* }[/mm] erzeugt wird.
> Es gilt : [mm]| U_5 | = 2^{n-2 }[/mm]
Hier sagen wir, dass die von dem Element 5 erzeugte Untergruppe der Ordnung [mm] 2^{n-2} [/mm] hat.
Damit wir ja genau zeigen, dass es wirklich diese Ordnung hat, zeigen wir nun, dass es keine kleinere Ordnung besitzt , richtig?
> Weil: [mm]5^{2^{ l - 3 }} \equiv 1 + 2^{l - 1 } \mod 2^l \ \forall l \ge 3 [/mm]
Wurde hier gezeigt, dass wenn 5 diese Kongruenz erfüllen würde, die Ordnung der Gruppe nicht mehr stimmen würde?
> [mm]\Rightarrow ord ( 5 ) \ne 2^{ l - 3 }[/mm] in [mm]( \mathbb Z / 2^l \mathbb Z )^{ \* }[/mm]
> Aber:
> [mm]5^{2^{ l - 3 + 1 }} = ( 1 + 2^{l - 1 } ) ^2 \mod 2^l[/mm]
> [mm]\Rightarrow 5^{2^{ l - 2 }} = 1 \mod 2^l[/mm]
> [mm]\Rightarrow ord (5) = 2^{ l - 2 }[/mm]
> [mm]\Rightarrow | U_5 | = 2^{l - 2 } [/mm].
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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