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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 19.09.2005 | | Autor: | ZooYork |
Hallo!
Also ich hab als Hausaufgabe 6 Aufgaben bekommen, aber 2 davon kann ich einfach nicht lösen. Zunächst die Aufgabe: Gib eine untere und eine obere Schranke an (wäre gut wenns die kleinste Obere und die größte Untere wär) und weise die Monotonie nach. Die beiden Aufgaben lauten wie folgt:
1. ( [mm] \bruch{2 + n}{4 \wurzel{n}})
[/mm]
und
2. ( [mm] \bruch{4 - \wurzel{n}}{4 + \wurzel{n}})
[/mm]
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Mfg Basti
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Hallo Basti,
also schaun wir mal:
1. [mm]a_n := \bruch{2+n}{4*\wurzel{n}} [/mm] Zunächst setzen wir mal die ersten paar Zahlen ein, um ein Gefühl für die Folge zu bekommen.
[mm]a_1 = 3/4=0.75, a_2=1/\wurzel{2} \approx 0.7, a_3=5/4*\wurzel{3}\approx 0.72, a_4=3/4=0.75, a_5=7/4*\wurzel{5} \approx 0.78, a_6\approx 0.81[/mm] Scheint also mit Ausnahme bei n=1 immer zu steigen. Die Monotonie so zu zeigen scheint mir im Moment recht schwierig. Allerdings können wir das ganze ja mal als Funktion auffassen
[mm]f: [1,\infty] \to \RI, f(x) = \bruch{2+x}{4*\wurzel{x}}[/mm] Da sind die Folgenglieder, also [mm]a_1=f(1)[/mm] etc. ja auch dabei. Diese Funktion kannst du differenzieren. Da sollte dann nach einiger Rechnung [mm]\bruch{x-2}{8*x^{3/2}}[/mm] als Ableitung rauskommen. Und nun kannst du genau die größte untere Schranke, nämlich den Tiefpunkt der Funktion ausrechnen. Was bei [mm]n \to \infty[/mm] los ist, am besten durch Aufteilen in zwei Brüche, kürzen,... untersuchen!
2. Hier würde ich einen analogen Ansatz vorschlagen, wobei evtl. schneller folgendes geht: [mm]a_{n+1}-a_n=\bruch{4-\wurzel{n+1}}{4+\wurzel{n+1}}-\bruch{4-\wurzel{n}}{4+\wurzel{n}} < \bruch{4-\wurzel{n+1}}{4+\wurzel{n}}-\bruch{4-\wurzel{n}}{4+\wurzel{n}} = \bruch{-\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{4+\wurzel{n}}<0[/mm] Die erste Ungleichung gilt, weil [mm]\wurzel{n+1}>\wurzel{n} \Rightarrow[/mm] wir teilen also durch etwas kleineres, d.h. der erste Bruch wird größer, das heißt aber die Differenz der Brüche wird größer! Damit wäre schon mal die Monotonie gezeigt. Limes wieder mit Aufteilung in zwei Brüche bestimmen.
mfg
Daniel
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