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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Hallo,
habe leider auch bei nachstehender Aufgabe meine Schwierigkeiten und hoffe hier Hilfe zu erhalten.
a.) Sei w Element aus N verknüpft mit {0}. Bestimmen Sie alle Lösungen und alle nichtnegativen Lösungen von
2x + 3y = w.
Muss ich für w = 0 und w > 0 die Gleichungen berechnen und bestimmen?
b.) Bestimmen Sie alle positiven Lösungen (x,y,z) der diophantischen Gleichung
2x + 3y + 7z = 1000.
Kann mir hier jemand helfen?
Gruß
mausieux
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) ja
zu b) wir warten hier immer erst mal auf deine Versuche!
Eine treffendere Überschrift wie etwa diophantische Gleichungen wäre auch phantasievoller.In Zahlenth. hast du das ja sowoeso eingestellt.
Was habt ihr bisher dazu gemacht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ist dann für a.) die Lösung folgende:
y = - 2/3x
und
x = - 1,5y
Ist diese Lösung richtig und vollständig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
darfst du denn x,y beliebig wählen? sollten die nicht ganz sein?
für x,y reell oder aus Q ist doch die Aufgabe trivial, also hast du nicht die vollständige Aufgabe geschrieben.
falls x,y aus [mm] \IZ [/mm] musst du schon noch was tun. und außerdem ist das ja nur für w=0
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich wusste gar nicht, dass in der Zahlentheorie auch abweichend von den natürlichen Zahlen auch aus anderen Zahlbereichen Zahlen erlaubt sind. Bei dieser Aufgabe ist es natürlich so, dass nur Zahlen aus N erlaubt sind.
Ist w größer 0 lauten die Gleichungen wie folgt:
x = r/2 - 3/2y
y = r/3 - 2/3x
Ist das korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Achso, r ist natürlich aus N und größer 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist 2/3 einer natürlichen Zahl?
wieso kannst du einfach x = r/2 - 3/2y r=11 y=2?
welche ganzen Zahlen lösen denn nun z.B für w=11?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Das stimmt natürlich. Was ich als Lösung geschrieben habe kann ja nur falsch sein. Hmm, weiß aber ehrlich gesagt nicht weiter
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Hallo mausieux,
nehmen wir mal einen Teil von Aufgabe a), nämlich diesen:
[mm] w\in\IN_0, [/mm] gesucht alle nichtnegativen Lösungen von 2x+3y=w.
Also sind auch [mm] x,y\in\IN_0.
[/mm]
Hattet Ihr schon Methoden zur Lösung diophantischer Gleichungen? Wenn ja, welche?
Ansonsten fangen wir mal mit ein paar Beispielen an:
Für w=0 ist die einzige Lösung x=y=0.
Für w=1 existiert keine Lösung.
Für w=2 nur x=1, y=0.
Für w=3 nur x=0, y=1.
Für w=4 nur x=2, y=0.
Für w=5 nur x=1, y=1.
Für w=6 zum ersten Mal zwei Lösungen: (3;0), (0;2)
Für w=7 nur x=2, y=1.
Für w=8 (4;0), (1;2)
Für w=9 (3;1), (0;3)
Für w=10 (5;0), (2;2)
Für w=11 (4;1), (1;3)
Für w=12 zum ersten Mal drei Lösungen: (6;0), (3;2), (0;4)
Für w=13 (5;1), (1;3)
Für w=14 (7;0), (4;2), (1;4)
etc.
Fällt Dir bis hierher ein Muster auf? Wie viele Lösungen wird es für w=1033 geben, wie viele für w=1034? Und welche?
Wie könntest Du es allgemeiner fassen?
Wenn Du das hast, ist es recht einfach, den anderen Teil von Aufgabe a) zu lösen, also auch negative Werte von x oder y zuzulassen - w bleibt aber immer nichtnegativ.
Grüße
reverend
PS: Die Zahlentheorie behandelt viel mehr Zahlen als nur die natürlichen, aber das kommt meist erst später...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Erst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort, welcher ich mich gleich annehmen werde. Meinen Sie mit Methode beispielsweise das Lösen von diophantischen Gleichungen mithilfe des ggTs? Oder zählt man das nicht zu einer etwaigen Methode? Und was wäre ein Beispiel für eine mögliche Methode?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ggT ist schon mal ein Anfang, aber du willst dir ja erst mal reverends Liste genauer ansehen, sie vielleicht erweitern und dann anfangen zu denken. Nochmal: wir wollen bei dier einen Denkprozess anstoßen nicht dir Rezepte geben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Wir fällt beispielsweise auf, dass bei steigenden geradem w der x-Wert um 1 zunimmt. Bei ungeraden w bleibt der y-Wert 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mal noch irgend ein von reverend noch nicht aufgeschriebenes Bsp untersucht? w=15 etwa widerspricht deinem 2 ten Satz!
hat du mal überlegt dass 2x immer gerade ist. was heisst das für y wenn w gerade, wenn w ug. usw.
Bitte experimentier mal selbst rum!
was kannst du allgemein sagen für w=103 w=104 w=105 ohne alle x und y hinzuschreiben? maximales x? maximales y, Eigeschaft von x, y (gerade ug, durch p teilbar usw.)
Von einem post zum nächsten sieht man deine "Arbeit" nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Also, das maximale x bei w= 103 ist abzüglich der einen 3 (3*1) genau die Hälfte, da 2*50 = 100, bei w= 105 ist 2*51 und so weiter.
Aber was sagt mir das und wie kann ich es allgemein darstellen und was sagt mir das über die Anzahl möglicher Lösungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
algemein bei w ungerade, größtes x? kleinstes x? größtes y, kleinstes y. Schritte von x, Schritte von y
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Bei w=1033 müsste (515,1) und bei w=1034 müsste (517,0) herauskommen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Gibt natürlich noch mehr Lösungen, soll ich die hier alle aufführen?
Mir ist folgendes aufgefallen, bei geradem w verhalten sich die möglichen Lösungen wie folgt:
w= 12 => (6,0);(3,2);(0,4)
w= 14 => (7,0);(4,2);(1,4)
w= 16 => (8,0);(5,2);(2,4)
w= 18 => (9,0);(6,2);(3,4);(0,6) hier haben wir vier Lösungen
X nimmt immer um 1 zu, wobei y mit 0, mit 2 oder mit 4 fest ist.
Wie kann man sich das erklären und wann nimmt die Gleichung eine Lösung mehr an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
such systematisch!
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Kann es sein, dass die Gleichung aufgrund der 6er an Lösungen zunimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Frage unklar! Wenn du ne vermutung hast, hast du sie an mindestens 2 Beispielen getestet, oder eine Begründung gesucht?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch die Menge der lsg, nicht eine!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Auch nehmen die möglichen Lösungen zu, wie bei
w = 24 => (12,0);(9,2);(6,4);(3,6)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Aber kann man erkennen, wann die Gleichung um Lösungen zu nimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn man mal systematisch vorgeht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich habe mir jetzt mal alle Lösungen für ungerade und für gerade w aufgeschrieben. Bei ungeradem w sind die Lösungen ja (0,1);(1,1);(2,1;) und dann
(3,1);(0,3)
(4,1);(1,3)
(5,1);(2,3) usw usw usw
Und bei geradem w sind die Lösungen (1,0);(2,0) und dann
(3,0);(0,2)
(4,0);(1,2)
(5,0);(2,2)
(6,0);(3,2);(0,4)
(7,0);(4,2);(1,4) usw usw usw
Wobei die Lösungen immer nach erreichen eines neuen 6er Reihenwertes zunimmt.
Aber ist das die Lösung und wie formuliere ich es als solche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Es fallen ja die Wertsteigerungen von x oder hält alternativ y auf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe mir jetzt mal alle Lösungen für ungerade und
> für gerade w aufgeschrieben. Bei ungeradem w sind die
> Lösungen ja (0,1);(1,1);(2,1;) und dann
Beispiel w=103 du sagst 103=3*1 oder 103= 2*3+3*1
> (3,1);(0,3)
> (4,1);(1,3)
> (5,1);(2,3) usw usw usw
wie kommst du denn darauf
> Und bei geradem w sind die Lösungen (1,0);(2,0) und dann
Bsp w=104 3*2+0=104?
> (3,0);(0,2)
> (4,0);(1,2)
> (5,0);(2,2)
> (6,0);(3,2);(0,4)
> (7,0);(4,2);(1,4) usw usw usw
> Wobei die Lösungen immer nach erreichen eines neuen 6er
> Reihenwertes zunimmt.
>
> Aber ist das die Lösung und wie formuliere ich es als
> solche?
Du hast deine lösg nicht an einem einfachen bsp wie ich ausprobiert!
fang mit dem größt möglichen x an, dann das nächst mögliche usw, wie sind die zugehörigen y bei geraden, bei ungeradem w, bei durch 3 tb w usw.
oder fang mit dem kleinst möglichen y an und sdazu die passenden x
und erprobe alle deine vermutungen an verschiedenen w. w prim. wdurch 3 tb w gerade und durch 3tb also durch 6 tb usw.
nur wenn du dann eine " an mindestens 7 nicht zu kleinen zahlen ausprobiert hast, mail hier wieder!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Meine Frage wurde falsch verstanden, da das w natürlich im Wert steigt. Natürlich meinte ich nicht, dass (1,0) oder (0,1) für alle w gilt. Ich wollte mir nur die Schreibarbeit w=1, w=2 usw usw sparen.
Dadurch wollte ich zeigen, dass der x Wert steigt, wie bei
w= 7 => (2,1)
w=9 => (3,1)
usw (4,1); (5,1); (6,1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich habe es jetzt mal an den Zahlen 4027, 1951, 19683, 7776, 1499 versucht und folgendes dazu aufgeschrieben:
2 * 2012 + 3 * 1 = 4027
2 * 2009 + 3 * 3 = 4027
ff
2 * 974 + 3 * 2 = 1951
2 * 971 + 3 * 3 = 1951
ff
2 * 9840 + 3 * 1 = 19683
2 * 9837 + 3 * 3 = 19683
ff
2 * 3888 + 3 * 0 = 7776
2 * 3885 + 3 * 2 = 7776
ff
2 * 748 + 3 * 1 = 1499
2 * 745 + 3 * 3 = 1499
ff
Kann mir hier schon etwas auffallen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn du statt ff ergänzest um mindestenss die 2 letzten Ergebnisse und evt ein allgemeines dahinterschreibst!
sieh dir die folge von x und y Werten an.
nebenbei Hast du das eigentlich schon für ganze Zahlen gelöst? also auch neg x und y, das ist noch einfacher!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich habe es jetzt mal für 4027 fortgeführt.
2 * 2012 + 3 * 1 = 4027
2 * 2009 + 3 * 3 = 4027
.
.
.
2 * 5 + 3 * 1339 = 4027
2 * 2 + 3 * 1341 = 4027
Was mir hier auffällt ist, dass x um 3 abnimmt wenn y um 2 zunimmt.
Wenn wir die ganzen Zahlen hinzunehmen, können wir jede natürliche Zahl als w erhalten. Muss das beweisen werden?
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Hallo,
> Ich habe es jetzt mal für 4027 fortgeführt.
>
> 2 * 2012 + 3 * 1 = 4027
> 2 * 2009 + 3 * 3 = 4027
> .
> .
> .
> 2 * 5 + 3 * 1339 = 4027
> 2 * 2 + 3 * 1341 = 4027
Ja, prima.
> Was mir hier auffällt ist, dass x um 3 abnimmt wenn y um 2
> zunimmt.
Woran mag das bloß liegen?
Wieviele Lösungen gibt es nun eigentlich für w=4027?
> Wenn wir die ganzen Zahlen hinzunehmen, können wir jede
> natürliche Zahl als w erhalten. Muss das beweisen werden?
Hier ist "beweisen" vielleicht ein zu großes Wort. Aber man kann es recht einfach zeigen. Das ist kein so großer Unterschied.
Grüße
reverend
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Hmm, vielleicht weil 2,3 teilerfremd sind?
Wie viele Teiler 4027 hat weiß ich nicht. Hatte die Idee mit der Primfaktorzerlegung. Allerdings ist 4027 eine Primzahl, wo es natürlich witzlos ist. Kleiner Tipp?
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Beinhaltet meine vorherige Frage nun die Lösung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 27.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was bedeutet der Satz:
"Wenn wir die ganzen Zahlen hinzunehmen, können wir jede natürliche Zahl als w erhalten. Muss das beweisen werden? "
da ich es nicht weiss, kann ich auch nicht sagen ob man es beweisen muss.
in der aufgabe stand als erstes:
Sei w Element aus N verknüpft mit {0}. Bestimmen Sie alle Lösungen und alle nichtnegativen Lösungen von
2x + 3y = w.
also erst alle ganzzahligen, dann die positiven!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Egal was wir einsetzen, wir können jede natürliche Zahl für w erhalten. Also, es gibt unendlich viele Lösungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
gefragt ist doch nach der lösungsmenge für festes w.
also w0103 z. bsp oder w=1234567
da sind doch in der losungsmenge nicht beliebige Paare (x,y)
z.B2x+3=0 wird durch (-3,2) und 3,-2 gelost und dann natürlich von allen vielfachen davon, also (-3k,2k) [mm] k\in\iZ [/mm]
2x+3y=1 wird gelöst von ? dann wird 2x+3y=n gelost von n*?
dazu kann man jed losung von 2x+3=0 addieren.
Gruss leduart
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Hallo,
ist in Aufgabenteil b) etwa x=0,y=2,z=142 ? Das kommt bei mir raus, wenn ich dem Folge was da steht (setze w=2x+3y), aber ist schon merkwürdig, dass x verschwindet. Ich meine, es könnte auch eine Lösung mit [mm] x\not=0 [/mm] geben, aber es fehlt der Ansatz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh die Frage nicht? die einfachste lsg ist x=500, y,z=0 wie muss man y,z wählen damit man ein weiteres mögliches x findet, wwobei da ja 2x gerade ist?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich habe mich jetzt auch mal an Aufgabe b.) gesetzt und finde, dass es dort ja jede Menge Möglichkeiten gibt. Wie ich schreibe ich diese sinnvoll auf? Halte ich nacheinander jede Variable fest? Oder wie?
Die Aufgabe ist:
Bestimmen Sie alle positiven Lösungen (x,y,z) der diophantischen Gleichung
2x + 3y + 7z = 1000
Problem ist ja auch, dass alle teilerfremd sind. Wie gehe ich denn am besten vor? Wie gesagt, ich habe jede Menge Lösungen raus und habe das Gefühl, dass die einzelnen Reihen, wie 2er, 3er und 7er Reihe möglich sind. Auch in jeglicher Kombination
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Hallo,
am besten löst Du erst einmal Aufgabe a), denn Teil b) lässt sich leicht darauf zurückführen:
> Ich habe mich jetzt auch mal an Aufgabe b.) gesetzt und
> finde, dass es dort ja jede Menge Möglichkeiten gibt. Wie
> ich schreibe ich diese sinnvoll auf? Halte ich nacheinander
> jede Variable fest? Oder wie?
>
> Die Aufgabe ist:
>
> Bestimmen Sie alle positiven Lösungen (x,y,z) der
> diophantischen Gleichung
>
> 2x + 3y + 7z = 1000
Das kannst Du auch schreiben als 2x+3y=1000-7z.
Die linke Seite der Gleichung sollte Dir bekannt vorkommen.
> Problem ist ja auch, dass alle teilerfremd sind. Wie gehe
> ich denn am besten vor? Wie gesagt, ich habe jede Menge
> Lösungen raus und habe das Gefühl, dass die einzelnen
> Reihen, wie 2er, 3er und 7er Reihe möglich sind. Auch in
> jeglicher Kombination.
Es gibt 14003 Lösungen, wenn Nullen zugelassen sind.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Klar, sagt mir was. Wie kommt man auf 14003 Lösungen?
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Hallo nochmal,
bist Du eigentlich vollkommen beratungsresistent?
Mach erst Aufgabe a) !
Dann kannst Du dies nachvollziehen:
[mm] \left(\summe_{k=2}^{167}k\right)-\left(\bruch{979-13}{6*7}+1\right)=\bruch{167*168}{2}-1-23-1=14003
[/mm]
Grüße
reverend
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Nein, bin ich nicht. Ich halte mich doch auch daran und kümmere mich um a.)
Ich weiß aber einfach nicht, was jetzt noch fehlt um die Lösung in a.) zu komplettieren. Zu dem habe ich auch noch das Problem, dass ich die Aufgabe morgen früh um 08:00 Uhr einreichen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 27.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a.) Sei w Element aus N verknüpft mit {0}.
da steht sicher $w [mm] \in \IN \cup \{0\}\,,$ [/mm] oder kürzer $w [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Nur zur Sprache:
[mm] "$\IN \cup \{0\}$" [/mm] liest man (etwa) als [mm] "$\IN$ [/mm] vereinigt mit [mm] $\{0\}$", [/mm] oder besser: "die Vereinigung der natürlichen Zahlen mit der Menge [mm] $\{0\}$".
[/mm]
Gruß,
Marcel
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