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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 So 26.09.2010 | | Autor: | Platoniker |
Hallo
Ich habe hier http://www.matheboard.de/archive/5098/thread.html , eine Diskussion gefunden, wobei mich die leider nicht angeführten Beweise brennend interessieren. (7.Artikel):
> Teilbarkeitsregeln
> Hier noch ein allgemeiner Ansatz aus der Zahlentheorie für Interessierte:
> Der Gag ist, daß man daraus schnell Teilbarkeitsregeln für beliebige Basen ablesen kann.
> b = Basis, b > 1
> d = Teiler
> a = zu untersuchende Zahl
> T(b) = Teilermenge von b, Beispiel b = 10 , T(10) = {1,2,5,10}
> [mm] q_i [/mm] = Ziffern von a
> [mm] \sum_{i=0}^n q_i [/mm] = b-adische Quersumme von a
> [mm] \sum_{i=0}^n (-1)^i q_i= [/mm] alternierende b-adische Quersumme
...
Für die Beweise der Aussagen oder Ideen zum Beweis bin ich sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Platoniker!
Ja, und? Was ist nun Deine Frage?
Gruß
Loddar
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> Hallo
>
> Ich habe hier
> http://www.matheboard.de/archive/5098/thread.html , eine
> Diskussion gefunden, wobei mich die leider nicht
> angeführten Beweise brennend interessieren. (7.Artikel):
Hallo,
uns würden die zu beweisenden Aussagen interessieren - oder sollen wir uns die etwa selbst in einem anderen Forum zusammenklauben?
Dazu würden dann noch ein paar Lösungsansätze gehören.
Dies ist ein Forum, welches Hilfe zur Selbsthilfe geben möchte, und kein Dienstleistungsbetrieb.
Gruß v. Angela
>
> > Teilbarkeitsregeln
>
> > Hier noch ein allgemeiner Ansatz aus der Zahlentheorie für
> Interessierte:
> > Der Gag ist, daß man daraus schnell Teilbarkeitsregeln
> für beliebige Basen ablesen kann.
>
> > b = Basis, b > 1
> > d = Teiler
> > a = zu untersuchende Zahl
> > T(b) = Teilermenge von b, Beispiel b = 10 , T(10) =
> {1,2,5,10}
> > [mm]q_i[/mm] = Ziffern von a
> > [mm]\sum_{i=0}^n q_i[/mm] = b-adische Quersumme von a
> > [mm]\sum_{i=0}^n (-1)^i q_i=[/mm] alternierende b-adische
> Quersumme
> ...
>
> Für die Beweise der Aussagen oder Ideen zum Beweis bin ich
> sehr dankbar!
>
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Hallo,
Entschuldigung, diese Reaktion wollte ich nicht auslösen!
Da ich leider momentan keinen Lösungsansatz habe bitte ich um Unterstützung beim Beweis dieser Aussagen wie z.B. bei 2.
Sobald ich wieder eine Beweisidee habe poste ich sie.
b = Basis, b > 1
d = Teiler
a = zu untersuchende Zahl
T(b) = Teilermenge von b, Beispiel b = 10 , T(10) = {1,2,5,10}
[mm] q_i= [/mm] Ziffern von a
[mm] \sum_{i=0}^n q_i [/mm] = b-adische Quersumme von a
[mm] \sum_{i=0}^n (-1)^i q_i [/mm] = alternierende b-adische Quersumme
Endstellenregeln
1. Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus T(b) teilbar, wenn die letzte Stelle des Zahlenwortes durch d teilbar ist.
Die Regel kann man also wenn b =10 ist für 2,5,10 anwenden.
Für b = 5 hingegen nur für 5.
2. Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus [mm] T(b^2) [/mm] teilbar, wenn
[mm] q_1 \cdot [/mm] b + [mm] q_0 [/mm] durch d teilbar ist.
Was ist mit [mm] q_0 [/mm] gemeint?
Im Dezimalsystem kann man dies für 2,4,5,10,20,25,50 und 100 verwenden.
3. Eine Zahl a ist genau dann durch ein Element d von [mm] T(b^3) [/mm] teilbar, wenn d teilt [mm] q_2b^2+q_1b+q_0.
[/mm]
Dies liefert im Dezimalsystem Teilbarkeitsregeln für 1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,125,200,250,500 und 1000.
Man kann dies für höhere Potenzen der Basis weiter verallgemeinern.
Quersummenregeln
Sei jetzt d [mm] \in [/mm] T(b-1).
1. Eine Zahl a ist genau dann durch ein Element d der Menge T(b-1) teilbar, wenn d die b-adische Quersumme von a teilt.
Liefert im Dezimalsystem Teilbarkeitsregeln für 3 und 9.
Sei jetzt d [mm] \in T(b^2-1).
[/mm]
2. Eine Zahl a ist genau dann durch ein Element d der Menge [mm] T(b^2-1) [/mm] teilbar, wenn d die b-adische Quersumme 2. Ordnung von a teilt.
Bei der b-adischen Quersumme 2. Ordnung addiert man die durch die 1. und 2. bzw. 3. und 4. Ziffer usw. dargestellten Zahlen.
Liefert im Dezimalsystem Teilbarkeitsregeln für 11,33 und 99.
Auch hier kann man wieder für höhere Potenzen verallgemeinern.
Alternierende Quersummenregeln
Sei jetzt d [mm] \in [/mm] T(b+1).
Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus der Menge T(b+1) teilbar, wenn d die alternierende b-adische Quersumme von a teilt.
Liefert Teilbarkeitsregeln
im Dezimalsystem für 11
im Stellenwertsystem mit der Basis b=7 z.B. für 2,4 und 8
Danke im Vorraus
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> b = Basis, b > 1
> d = Teiler
> a = zu untersuchende Zahl
> T(b) = Teilermenge von b, Beispiel b = 10 , T(10) =
> {1,2,5,10}
> [mm]q_i=[/mm] Ziffern von a
> [mm]\sum_{i=0}^n q_i[/mm] = b-adische Quersumme von a
> [mm]\sum_{i=0}^n (-1)^i q_i[/mm] = alternierende b-adische
> Quersumme
>
> Endstellenregeln
>
> 2. Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus [mm]T(b^2)[/mm]
> teilbar, wenn
> [mm]q_1 \cdot[/mm] b + [mm]q_0[/mm] durch d teilbar ist.
>
> Was ist mit [mm]q_0[/mm] gemeint?
Hallo,
in der Basis b kannst Du die Zahl a schreiben als
[mm] a=q_0b^0+q_1b^1+q_2b^2+...+q_nb^n.
[/mm]
Wenn wir im Dezimalsystem sind, ist [mm] 1234=1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0.
[/mm]
Das [mm] q_0 [/mm] wäre hier [mm] q_0=4, [/mm] und [mm] q_1=3.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Im Dezimalsystem kann man dies für 2,4,5,10,20,25,50 und
> 100 verwenden.
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