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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Do 24.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen.
Ich habe folgende Aufgaben zu zeigen:
1. V sei ein normierter VR.
a) Man nennt eine Teilmeng M von V konvex, wenn für alle Paare a,b aus M auch alle Punkte der Verbindungsstrecke {ta+(1-t)b; 0<=t<=1} in M liegen.
Zu zeigen: Jede konvexe Teilmenge M von V ist zusammenhängend.
b) Eine Teikmenge M von V heisst sternförmig, wenn es in einem Sternpunkt genannten Punkt s aus M gibt, so dass für jeden Punkt a aus M auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke {ta+(1-t)s; 0<=t<=1} von a und s in M liegt.
Zu zeigen: Jede sternförmige Menge ist zusammenhängend!
2. V sei ein normierter VR.
M Teilmenge von V offen. Weiter sei [mm]\gamma: [0,1] \to V[/mm] eine stetige Abbildung mit [mm] $\gamma [/mm] (0)$ und [mm] $\gamma [/mm] (1)$ aus V \ M.
Zu zeigen: Es gibt ein t aus dem abgeschlossenen intervall von 0 bis 1 mit
[mm]\gamma (t)[/mm] aus dem Rand von M.
Leider weiss ich nicht, wie ich an diese Aufgaben herangehn soll.
Wir haben einige Definitionen gemacht, aber ein Beispiel gab´s nicht dazu, an dem man sich orientieren könnte.
Bin für jeden Tipp dankbar.
Gruss,
Wurzelpi!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Do 24.06.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo Wurzelpi!
Also, bei der a) kann ich dir zumindest helfen, bei der b) weiß ich selber noch nicht wirklich weiter....
Wenn du zeigen solltest, dass eine Teilmenge zusammenhängend ist, kannst du auch zeigen, dass diese wegzusammenhängend ist.
Aus wegzusammenhängend bei einer Teilmenge [mm]M \subset V [/mm]folgt zusammenhängend (damit du das Lemma bei uns im Skript findest: (4.17))
Das hilft einem insofern weiter, als dass die Definition von zusammenhängend recht unangenehm ist, die von wegzusammenhängend aber viel handlicher.
Ich schreib hier jetzt erst einmal die Definition von wegzusammenhängend auf:
Sei [mm] (V,\left|\left|*\right|\right|) [/mm] ein normierter Vektorraum. eine Menge [mm]M\subset V[/mm]
heißt wegzusammenhängend, wenn es zu allen Punkten a,b [mm] \in [/mm] M eine stetige Abbildung [mm] \phi: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] V gibt mit [mm] \phi([0,1]) \subset [/mm] M, [mm] \phi(0)=a [/mm] und [mm] \phi(1)=b.
[/mm]
Jetzt schau dir noch mal genau die Aufgabenstellung an und denk daran, dass wir gegeben haben, dass M eine konvexe Teilmenge von V ist.
und dann noch mal die Def. von konvex durchlesen, dann noch mal die von wegzusammenhängend.
dann definierst du dir ein [mm]\phi[/mm]...
Hast du in der Vorlesung mitgeschrieben?
Da hat der Walcher ein zusätzliches Beispiel gemacht und auch bewiesen, dass dieses [mm] \phi [/mm] stetig ist.
im stetigkeitsbeweis ist am ende ein fehler drin (er hat Konstante und Elemente des Vektorraums irgendwie durcheinander gebracht), aber das schaffst du schon selber zu verbessern, denke ich.
Jetzt müsstest du die a) eigentlich schaffen.
Bei der b) weiß ich noch nicht so recht, weil sie wohl nicht genauso geht wie die a).
Außerdem gilt die b) für [mm] \mathbf{ein} [/mm] s [mm] \in [/mm] M und alle a [mm] \in [/mm] M.
Die Definition setzt aber voraus, dass es für alle (hier) s, a [mm] \in [/mm] M gelten müsste, wenn ich das richtige verstehe....
Allerdings kann man aber auch jeden beliebigen Punkt a der Menge mit s verbindnen und die Punkte der Verbindungsgeraden liegen wieder in M. Damit wäre es ja wezusammenhängend würde ich sagen, aber ich weiß nicht, wie ich das mit der Definition sagen soll bzw. ob ich da einfach sagen kann, dass es auch für ein festes s gilt, wenn dafür das a freiwählbar in M bleibt.
Hoffe, ich konnte dir etwas helfen. Und wenn du noch eine Frage haben solltest, dann schreib.
btw.: Hast du schon was bei der 3b) oder 4c)? bei der 3b) weiß ich nicht, ob ich das mit Folgenkompaktheit oder mit Abgeschlossenheit und Beschränktheit machen soll.
Gruß,
Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Do 24.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Wenn du zeigen solltest, dass eine Teilmenge
> zusammenhängend ist, kannst du auch zeigen, dass diese
> wegzusammenhängend ist.
das scheint mir auch die eleganteste Lösung, aber dürft Ihr das überhaupt benutzen? So würde die Aufgabe ja fast trivial...
> Bei der b) weiß ich noch nicht so recht, weil sie wohl
> nicht genauso geht wie die a).
> Außerdem gilt die b) für [mm]\mathbf{ein}[/mm] s [mm]\in[/mm] M und alle a
> [mm]\in[/mm] M.
> Die Definition setzt aber voraus, dass es für alle (hier)
> s, a [mm]\in[/mm] M gelten müsste, wenn ich das richtige
> verstehe....
> Allerdings kann man aber auch jeden beliebigen Punkt a der
> Menge mit s verbindnen und die Punkte der
> Verbindungsgeraden liegen wieder in M. Damit wäre es ja
> wezusammenhängend würde ich sagen, aber ich weiß nicht, wie
> ich das mit der Definition sagen soll bzw. ob ich da
> einfach sagen kann, dass es auch für ein festes s gilt,
> wenn dafür das a freiwählbar in M bleibt.
Man kann ja recht einfach zwei beliebige Punkte durch einen Weg verbinden, indem man den "Umweg" via s geht:
[mm] \phi: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] V
[mm] $\phi(x)=$ [/mm] Verbindungsstrecke von a nach s, falls [mm] $x\in[0;0.5]$
[/mm]
[mm] $\phi(x)=$ [/mm] Verbindungsstrecke von s nach b, falls [mm] $x\in]0.5;1]$
[/mm]
Die Sache mit der "Verbindungsstrecke" muß man noch "schöner" hinschreiben, indem man die in der Definition von sternförmig erwähnte Strecken umparametrisiert...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Do 24.06.2004 | | Autor: | hanna |
hallo marc!
vielen dank für den tip bei der b). so in der art habe ich mit das auch überlegt, aber dann habe ich gedacht, dass ich irgendwie in die falsche richtung damit gehe wegen der verbindungstrecke. aber klar, wenn man das ändert, dann müsste das klappen.
werd mich damit heute nachmittag mal auseinander setzten.
und ja,
> > Wenn du zeigen solltest, dass eine Teilmenge
> > zusammenhängend ist, kannst du auch zeigen, dass diese
>
> > wegzusammenhängend ist.
>
> das scheint mir auch die eleganteste Lösung, aber dürft Ihr
> das überhaupt benutzen? So würde die Aufgabe ja fast
> trivial...
das dürfen wir benutzen, haben anscheinend keinerlei einschränkung.
gruß, hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Do 24.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen
Ich habe schon eine Möglichkeit gefunden (Version 2!)
Ich nenne die stetige Funktion jetzt f, okay?
Also:
Nach Vor. ist f eine stetige Abbildung mit f(0)[mm]\in[/mm]M,
f(1)[mm]\in[/mm] V \ M.
Ohne Einschränkung sei f(1) [mm]\in[/mm] V \ (M[mm]\cup[/mm]RandM)), denn für
f(1)[mm]\in[/mm]RandM folgt die Beh..
Da also f stetig ist, ex. eine zusammenhängende Menge L mit
f(0)[mm]\in[/mm]L, f(1)[mm]\in[/mm]L.
Angenommen, es existiere kein t[mm]\in[/mm][0,1]mit f(t)[mm]\in[/mm]RandM.
Dann gilt: L[mm]\subset[/mm]V \ RandM.
Definiere:
U:=M,
U´:= V \ (M[mm]\cup[/mm]RandM).
Dann sind U, U´offen.
Für U,U´gilt:
U,U´[mm]\subset[/mm]V,
[mm]U\cap U`\cap L = \emptyset[/mm],
[mm]L \subset [/mm]([mm]U\cup U`[/mm]).
Ps@Hanna: Verwende nun Satz (4.13):
Dann gilt nach diesem Satz:
L[mm]\subset[/mm]U oder L[mm]\subset[/mm]U´.
Das ist ein Widerspruch,
denn:
1. f(0))[mm]\in[/mm]L, f(0))[mm]\in[/mm]U,
f(1))[mm]\in[/mm]L, f(1))[mm]\not\in[/mm]U
Also: L[mm]\not\subset[/mm]U
2. f(0))[mm]\in[/mm]L, f(0))[mm]\not\in[/mm]U´
Also: L[mm]\not\subset[/mm]U´
Daraus folgt dann die Behauptung (hoffe ich zumindest
Geht das auch so?
Gruss,
Wurzelpi!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 24.06.2004 | | Autor: | hanna |
hallo!
hm, ich habe irgendwie das gefühl, dass in deiner ausführung ein paar zeichen fehlen.
was z.b ist U?
naja, vllt ist mein kopf einfach nur zu voll?!
weiß auch gar nicht, ob ich das heute noch verstehen will.
mal sehen.
danke für die anderen tipps bei der 3 und der4, konnte dem ganzen recht gut folgen!
hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Do 24.06.2004 | | Autor: | hanna |
guten abend!
also, ich hab mir das mal angeguckt, aber tut mir leid, mein kopf ist wohl zu voll.
kann da z.b nicht nachvollziehen, wie L denn zusammenhängend sein soll (also mit f(0) [mm] \in [/mm] L und f(1) [mm] \in [/mm] L, aber es dann gelten soll [mm]L \subset V \setminus \partial M[/mm].
und warum schreibst du manchmal [mm]M \cup \partial M[/mm]? [mm]M[/mm] ist doch offen und damit liegen auch die randpunkte in [mm]M[/mm], oder ???
dann wäre dein [mm]U'[/mm] nicht offen, sondern abgeschlossen...
sorry, blick nix mehr!
hanna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Do 24.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute!
Ich würde mich auch gerne an diesem Problem probieren, sagt einfach, ob das schon sauber genug war...
Wir legen also fest
$N = [mm] \{t \in [0,1] | \gamma(t) \in M\}$
[/mm]
[mm] $t_{0} [/mm] = sup(N)$, dieses muss existieren, da [mm] $\gamma(0) \in [/mm] M$ und [mm] $\gamma(1) \in V\setminus [/mm] M$ sind.
Da $M$ offen ist, muss gelten [mm] $\gamma(t_{0}) \not\in [/mm] M$, sonst gäbe es bestimmte [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, so dass in [mm] $\gamma((t_{0},t_{0}+\epsilon))$ [/mm] weitere Elemente von M existierten, was der Voraussetzung [mm] $t_{0} [/mm] = sup(N)$ wegen der Stetigkeit von [mm] $\gamma$ [/mm] widersprechen würde.
Da [mm] $t_{0} [/mm] = sup(N)$ gilt für alle $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1 - [mm] t_{0}$ $\gamma(t_{0} [/mm] + [mm] \epsilon) \in V\setminus [/mm] M$.
Ist [mm] $t_{0} [/mm] = 1$, ist [mm] $\gamma(t_{0})$ [/mm] n.V. selber Element von [mm] $V\setminus [/mm] M$.
Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es in jedem [mm] $(t_{0} [/mm] - [mm] \epsilon, t_{0})$ [/mm] ein $t$ mit [mm] $\gamma(t) \in [/mm] M$, wäre dem nicht so, so gäbe es ein $t' [mm] \in (t_{0} [/mm] - [mm] \epsilon, t_{0})$ [/mm] mit $(t', [mm] t_{0}) \subset V\setminus [/mm] M$, dann wäre aber [mm] $t_{0}$ [/mm] nicht mehr kleinste Obere Schranke von $N$, was aber ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.
Insgesamt muss also gelten: [mm] $\gamma(t_{0}) \in \partial [/mm] M$.
Wie sieht das aus?
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo AT-Colt!
Das sieht insgesamt sehr gut aus!
Ich ändere es noch ein bisschen um, dann sind wir fertig! 
> [mm]N = \{t \in [0,1] | \gamma(t) \in M\}[/mm]
> [mm]t_{0} = sup(N)[/mm],
> dieses muss existieren, da [mm]\gamma(0) \in M[/mm] und [mm]\gamma(1) \in V\setminus M[/mm]
> sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Den folgenden Teil habe ich leicht abgewandelt
Es muss gelten: [mm]\gamma(t_{0}) \not\in M[/mm], sonst gäbe es ein [mm]\epsilon > 0[/mm], so dass in [mm]\gamma((t_{0},t_{0}+\epsilon))[/mm] wegen der Offenheit von $M$ und der Stetigkeit von [mm] $\gamma$ [/mm] weitere Elemente von M existierten, was der Voraussetzung [mm]t_{0} = sup(N)[/mm] widersprechen würde.
>
> Da [mm]t_{0} = sup(N)[/mm] gilt für alle [mm]0 < \epsilon < 1 - t_{0}[/mm]
> [mm]\gamma(t_{0} + \epsilon) \in V\setminus M[/mm].
Das ist überflüssig, da ja bereits [mm] $\gamma(t_0) \in [/mm] V [mm] \setminus [/mm] M$ (war aber mein falscher Tipp ).
> Ist [mm]t_{0} = 1[/mm],
> ist [mm]\gamma(t_{0})[/mm] n.V. selber Element von [mm]V\setminus M[/mm].
>
Zu zeigen bleibt, dass in jeder Umgebung von [mm] $\gamma(t_0)$ [/mm] ein Element von $M$ liegt. Es sei $U$ eine beliebige offene Umgebung von [mm] $\gamma(t_0)$. [/mm] Wegen der Stetigkeit von [mm] $\gamma$ [/mm] gibt es ein [mm] $\epsilon>0$, [/mm] mit
[mm] $\gamma(]t_0 [/mm] - [mm] \epsilon, t_0[) \subset [/mm] U$.
Es gibt in jedem Fall ein $t [mm] \in ]t_0 -\epsilon, t_0]$ [/mm] mit [mm] $\gamma(t) \in [/mm] M$, sonst hätte man einen Widerspruch zu [mm] $t_0:=\sup [/mm] N$. Also folgt:
[mm] $\gamma(t) \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] M$,
was zu zeigen war.
> ein [mm]t[/mm] mit [mm]\gamma(t) \in M[/mm], wäre dem nicht so, so gäbe es
> ein [mm]t' \in (t_{0} - \epsilon, t_{0})[/mm] mit [mm](t', t_{0}) \subset V\setminus M[/mm],
> dann wäre aber [mm]t_{0}[/mm] nicht mehr kleinste Obere Schranke von
> [mm]N[/mm], was aber ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.
Trifft nicht ganz den Punkt...
> Insgesamt muss also gelten: [mm]\gamma(t_{0}) \in \partial M[/mm].
>
> Wie sieht das aus?
Hervorragende Ansätze!! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Sa 26.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Stefan,
ja, stimmt, ein paar mal hab ich da was gezeigt, was eigentlich schon aus vorhergehendem hervorging (doppelt gemoppelt hält besser ;) ).
Deine Methode, Elemente von $M$ um [mm] $\gamma(t_{0})$ [/mm] herum zu finden, ist sehr viel eleganter, da muss ich Dir recht geben, ich hoffe, die HiWis werden trotzdem verstehen, was ich meine ^^;
Es tut gut, Zuspruch von jemandem zu erhalten, der das kann (das bleibt an der Uni ja leider meistens aus).
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 24.06.2004 | | Autor: | hanna |
Zu 1 b):
z.z.: jede sternförmige Menge M ist zsh..
Dazu: z.z. jede sternförmige Menge ist wegzsh..
Dazu: sei M [mm] \subset [/mm] V sternförmig.
Da jeder Punkt der Verbindungsstrecke {ta+(1-t)s, t [mm] \in [/mm] [0;1]} von s und a für alle a [mm] \in [/mm] M in M liegt, gilt dies natürlich auch für alle b [mm] \in [/mm] M.
Definiere
[mm] \phi(t)=2ts+(1-t)b [/mm] , falls t [mm] \in [/mm] [0;0,5]
[mm] \phi(t)=s+(2t-1)(a-s), [/mm] falls t [mm] \in [/mm] [0,5;1].
Also [mm] \phi(0)=b [/mm] (Anfangspunkt), [mm] \phi(0,5)=s, \phi(1)=a [/mm] (Endpunkt).
Da M sternförmig, gilt [mm]\phi([0;1]) \subset M[/mm].
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist ein Polygon in M.
Da jedes Polgon eine Kurve ist (für Wurzelpi: im Skript, Bew. zu (4.19) [mm](iii)\Rightarrow (ii)[/mm] stehts explizit)
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist wegzsh.
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist zsh..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Do 24.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Hana!
Danke für die schnelle Antwort.
Durch Marc´s Tipp habe ich einen ähnliche Polygonzug finden können, ansonsten habe ich das aber genauso gemacht wie Du.
PS@Hanna: HAst Du Dir meineTipps schon einmal angesehen?
Gruss,
Wurzelpi
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