abbildung injektiv, surjektiv < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mi 09.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Ist die Funktion/Abbildung injektiv (surjektiv, bijektiv?)
p(x) mit der Vorschrift p(x) = [mm] a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^n [/mm] mit [mm] a_{n} \not=0 [/mm] wird als Polynom vom Grad n bezeichtnet. Die Menge der Polynome vom Grad [mm] \le
[/mm]
n mit reellen Koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] bezeichnet man mit [mm] \IR \le
[/mm]
n [x], also
[mm] \IR \le [/mm] n [x] = {p(x) = [mm] a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^n [/mm] | [mm] a_{0}, a_{1},..., a_{n} \in \IR [/mm] n}
Die Abbildung L sei definiert durch
L: [mm] \IR \le2[x] \to \IR \le1[x], a_{2}x^2+a_{1}x+ a_{0} \mapsto a_{1}x+ a_{0}. [/mm] |
Hallo Leute,
also das ganze sieht ja auf den ersten Blick ziemlich verwirrent aus.
Ich habe mir das mal ganz einfach gemacht und das sieht so aus(link).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich befürchte aber das da was fehlt oder das alles womöglich ganz falsch sein könnte.
Achja meine aufgrund der Abildung würde ich drauf schließen das sie surjektiv ist.
Ich danke jetzt schonaml für eure kreativen Einfälle
gruß hooover
edit(mathemaduenn):Bild eingefügt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mi 09.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Gesucht ist die Untersuchung der Abbildung auf Injektivität und Surjektivität.
Betrachten wir kurz die Gegebenheiten: Wir haben eine Menge die auf eine andere abgebildet wird. Unsere Urmenge hat die drei Elemente
[mm] p(x)=a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}
[/mm]
[mm] p(x)=a_{1}*x+a_{0}
[/mm]
[mm] p(x)=a_{0}
[/mm]
Unsere Bildmenge hat die zwei Elemente
[mm] p(x)=a_{1}*x+a_{0}
[/mm]
[mm] p(x)=a_{0}
[/mm]
1.Frage: Ist die Abbildung surjektiv? D.h., wird jedes Element der Bildmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen?
Diese Frage ist mit ja zu beantworten, wie du bereits richtig geschrieben hast. Denn jedem beliebigen Polynom in der Zielmenge kann ein Polynom in der Urmenge zugeordnet werden.
2.Frage: Ist die Abbildung injektiv? D.h., folgt aus gleichem Funktionswert bereits die Gleichheit der Argumente?
Diese Frage ist mit nein zu beantworten. Als Begründung sehen wir uns ein Gegenbeispiel an:
Wir schauen uns zwei Polynome der Urmenge an:
[mm] p_{1}(x)=3*x^{2}+3*x+4 [/mm] und
[mm] p_{2}(x)=8*x^{2}+3*x+4
[/mm]
Beide Polynome werden von der Abbildung auf das selbe Polynom überführt. D.h.
[mm] L(p_{1})=3*x^{2}+4=L(p_{2}).
[/mm]
Anders ausgedrückt: Aus [mm] L(p_{1})=L(p_{2}) [/mm] folgt nicht schon, dass [mm] p_{1}=p_{1}. [/mm] Folglich ist die Abbildung nicht injektiv.
Alles klar soweit?
Vlg, Kübi
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