Äquivalenzrelation < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:21 Mi 05.11.2008 | | Autor: | sethonator |
| Aufgabe | Kritisieren Sie das folgende Argument:
Es ist überflüssig, dass man extra verlangt, dass Äquivalenzrelationen reflexiv sein müssen. Man sieht nämlich, dass jede symmetrische, transitive Relation auch reflexiv ist: denn aus xRy folgt yRx wegen Symmetrie, und da xRy und yRx gelten, folgt xRx wegen Transitivität |
Jetzt habe ich folgendes gefunden hier im Forum:
Link
Aber irgendwie komm ich mit der Beschreibung nicht klar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sethonator!
> Kritisieren Sie das folgende Argument:
> Es ist überflüssig, dass man extra verlangt, dass
> Äquivalenzrelationen reflexiv sein müssen. Man sieht
> nämlich, dass jede symmetrische, transitive Relation auch
> reflexiv ist: denn aus xRy folgt yRx wegen Symmetrie, und
> da xRy und yRx gelten, folgt xRx wegen Transitivität
> Jetzt habe ich folgendes gefunden hier im Forum:
>
> Link
>
> Aber irgendwie komm ich mit der Beschreibung nicht klar.
Was genau verstehst du denn daran nicht? Es ist doch sogar ein Beispiel angegeben. Symmetrie bedeutet doch nur, dass falls [mm] (x,y)\in [/mm] R, dann auch [mm] (x,y)\in [/mm] R. Wenn es also ein y gibt, das mit keinem x in Relation steht, dann kannst du darauf auch nicht die Transitivität anwenden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mi 05.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Die Aufgabenstellung ist ja, dass man den Text kritisch begutachten soll.
Es soll ja letztlich herauskommen, dass es möglich ist, dass eine Relation transitiv und symmetrisch ist, aber nicht reflexiv.
Wie drücke ich das aus? In dem anderen Beitrag habe ich was gelesen, dass das bei leeren Mengen der Fall ist, dass es da den Fall gibt, dass es Symmetrie und Transitivität gibt, aber kein reflexives Verhalten. Und dafür bräuchte ich eine Begründung, warum das so ist.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo sethonator!
> Wie drücke ich das aus? In dem anderen Beitrag habe ich was
> gelesen, dass das bei leeren Mengen der Fall ist, dass es
> da den Fall gibt, dass es Symmetrie und Transitivität gibt,
> aber kein reflexives Verhalten. Und dafür bräuchte ich eine
> Begründung, warum das so ist.
Erstens sollte ein Gegenbeispiel genügen und zweitens steht es doch in dem Artikel. Erste Antwort, letzter Absatz.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mi 05.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Okay,
das Beispiel ist ja folgendes.
$ [mm] R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\} [/mm] $ als binäre Relation über $ [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv, da $ [mm] (3,3)\not\in [/mm] $ R gilt.
Kann man diesen Satz irgendwie einleuchtender formulieren?
Ich habe ja bisher die Äquivalenzrelation nur in den Grundzügen erlebt.
Also ich kenne ja bisher nur sowas:
Eine Relation xRy auf X heißt Äquivalenzrelation. Ich schaue quasi, ob x und y einer Menge äquivalent sind, oder?
Dann verstehe ich " $ [mm] R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\} [/mm] $ als binäre Relation über $ [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ ist... " nicht. Warum stehen da so viele Argumente?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay,
>
> das Beispiel ist ja folgendes.
>
> [mm]R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}[/mm] als binäre Relation über
> [mm]\{1,2,3\}[/mm] ist symmetrisch und transitiv, aber nicht
> reflexiv, da [mm](3,3)\not\in[/mm] R gilt.
>
> Kann man diesen Satz irgendwie einleuchtender formulieren?
>
> Ich habe ja bisher die Äquivalenzrelation nur in den
> Grundzügen erlebt.
> Also ich kenne ja bisher nur sowas:
>
> Eine Relation xRy auf X heißt Äquivalenzrelation. Ich
> schaue quasi, ob x und y einer Menge äquivalent sind,
> oder?
>
> Dann verstehe ich " [mm]R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}[/mm] als
> binäre Relation über [mm]\{1,2,3\}[/mm] ist... " nicht. Warum stehen
> da so viele Argumente?
das ist doch ein Klasse Beispiel. Nehmen wir als Grundmenge [mm] $X=\{1,2,3\}\,.$ [/mm] Dann ist $R$ symmetrisch:
Wir müssen für alle (und das ist jetzt wichtig) $x,y [mm] \in [/mm] X$ mit $(x,y) [mm] \green{\in R}$ [/mm] prüfen, ob auch $(y,x) [mm] \in R\,.$ [/mm] Das ist erfüllt.
Auch die Transitivität ist erfüllt, prüfe es nach.
Aber die Reflexivität ist nicht erfüllt:
Es fehlt das Element [mm] $(3,3)\,$ [/mm] in [mm] $R\,.$
[/mm]
(Bei der Reflexivität steht nämlich: Für alle [mm] $\green{x \in X}$ [/mm] ist zu prüfen, dass auch $(x,x) [mm] \in [/mm] R$ gilt!)
Wo ist das Problem (bei der Sache, dass die Symmetrie und Transitivtät nicht schon die Reflexivität impliziert):
Bei der Symmetrie steht ja nirgends, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$ auch $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ gelten muss. Sondern man hat nur etwas für die $x,y [mm] \in [/mm] X$ zu prüfen, für die auch $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ gilt! Das muss man aber wirklich verinnerlichen!
Gruß,
Marcel
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Aber was ist dann $ [mm] R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\} [/mm] $ ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber was ist dann [mm]R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}[/mm] ?
das ist eine ![[]](/images/popup.gif) Relation (genauer: Eine Relation auf [mm] $X=\{1,\;2,\;3\}\,.$ [/mm] Man würde vielleicht besser von einer Relation auf $X [mm] \times [/mm] X$ sprechen, bzw. ich glaube, dann sagt man vll. "binäre Relation auf $X$", wenn man das meint, das soll andeuten, dass das eine Teilmenge von $X [mm] \times [/mm] X$ ist. Aber lies' mal bei Wikipedia: Wenn nichts weiter angegeben ist, meint man mit R Relation auf $X$ nichts anderes als $R [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] X$). Genauer:
Es ist $R [mm] \subseteq \{1,\;2,\;3\} \times \{1,\;2,\;3\}=\{(r,\;s): r,s \in \{1,\;2,\;3\}\}\,.$
[/mm]
Man sagt hier: $R$ ist eine Relation auf [mm] $\{1,\;2,\;3\}\,.$
[/mm]
Du sollst nun z.B. prüfen, ob $R$ eine Äquivalenzrelation ist. Und wir nehmen jetzt mal an, Du würdest mit der Symmetrie anfangen:
Frage: Es gilt ja [mm] $1R2\,$ [/mm] (denn es ist ja $(1,2) [mm] \in [/mm] R$). Die Frage ist nun: Gilt dann auch [mm] $2R1\,$ [/mm] (also: ist auch $(2,1) [mm] \in [/mm] R$?)? Dies ist zu bejahen.
Also etwas ausführlicher (und teilweise sogar unnötig ausführlich):
Wir arbeiten mal alle Elemente aus [mm] $\black{R}$ [/mm] durch:
[mm] $\bullet$ [/mm] $1R2$ gilt, und wir sehen, dass auch $2R1$ gilt.
[mm] $\bullet$ [/mm] $2R1$ gilt, und wir sehen, dass auch $1R2$ gilt. (Das ist schon unnötig, da das ja eh schon aus der Zeile drüber erkennbar ist.)
[mm] $\bullet$ [/mm] $1R1$ gilt, und wir sehen, dass auch $1R1$ gilt. (Das zu $(1,1) [mm] \in [/mm] R$ prüfende symmetrische Element ist ja das Element selber.)
[mm] $\bullet$ [/mm] $2R2$ gilt, und wir sehen, dass auch $2R2$ gilt.
Wir haben alle Elemente aus $R$ "durchgeklappert" und zu jedem in $R$ befindlichen Element erkannt, dass das "symmetrische" Element auch in $R$ liegt.
(Zur Erklärung: Wenn ein Element $(a,b)$ heißt, dann nenne ich das zu $(a,b)$ entstehende Element, wenn $a$ und $b$ die Rollen tauschen, dass zu $(a,b)$ zugehörige symmetrische Element. Also: Zu dem Element $(3,9)$ würde ich z.B. sagen, dass $(9,3)$ das zugehörige symmetrische Element sei.)
Wäre oben z.B. [mm] $R_1=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,1)\}\,$ [/mm] so wäre das auch eine Relation auf [mm] $\{1,\;2,\;3\}\,,$ [/mm] da ja
[mm] $$R_1 \subseteq \{1,\;2,\;3\} \times \{1,\;2,\;3\}\,.$$
[/mm]
[mm] $R_1$ [/mm] ist aber nicht symmetrisch. (Warum?)
P.S.:
[mm] $$R_2=\{(1,2),(1,1),(2,2)\}\,$$
[/mm]
wäre auch eine Relation auf [mm] $\{1,\;2,\;3\}\,$ [/mm] die aber auch nicht symmetrisch ist. (Warum?) Diese ist allerdings transitiv. (Warum?)
Gruß,
Marcel
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> Wäre oben z.B. [mm]R_1=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,1)\}\,[/mm] so
> wäre das auch eine Relation auf [mm]\{1,\;2,\;3\}\,,[/mm] da ja
>
> [mm]R_1 \subseteq \{1,\;2,\;3\} \times \{1,\;2,\;3\}\,.[/mm]
>
> [mm]R_1[/mm] ist aber nicht symmetrisch. (Warum?)
Symmetrisch ist es doch nicht, weil ich die jeweiligen Kombinationen mit der Zahl "3" nicht habe, oder?
>
> P.S.:
> [mm]R_2=\{(1,2),(1,1),(2,2)\}\,[/mm]
>
> wäre auch eine Relation auf [mm]\{1,\;2,\;3\}\,[/mm] die aber auch
> nicht symmetrisch ist. (Warum?) Diese ist allerdings
> transitiv. (Warum?)
Hier habe ich doch das gleiche Problem wie oben, oder?
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Wäre oben z.B. [mm]R_1=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,1)\}\,[/mm] so
> > wäre das auch eine Relation auf [mm]\{1,\;2,\;3\}\,,[/mm] da ja
> >
> > [mm]R_1 \subseteq \{1,\;2,\;3\} \times \{1,\;2,\;3\}\,.[/mm]
> >
> > [mm]R_1[/mm] ist aber nicht symmetrisch. (Warum?)
>
> Symmetrisch ist es doch nicht, weil ich die jeweiligen
> Kombinationen mit der Zahl "3" nicht habe, oder?
sag' es mal genauer. Bei welchem Element in [mm] $R_1$ [/mm] gilt, dass das Element kein symmetrisches in [mm] $R_1$ [/mm] hat?
> >
> > P.S.:
> > [mm]R_2=\{(1,2),(1,1),(2,2)\}\,[/mm]
> >
> > wäre auch eine Relation auf [mm]\{1,\;2,\;3\}\,[/mm] die aber auch
> > nicht symmetrisch ist. (Warum?) Diese ist allerdings
> > transitiv. (Warum?)
>
> Hier habe ich doch das gleiche Problem wie oben, oder?
Wie meinst Du das? Bezogen auf die Symmetrie ähnlich: Es gibt ein Element in [mm] $R_2$, [/mm] welches kein symmetrisches in [mm] $R_2$ [/mm] hat. Welches ist das? (Um die Nichtsymmetrie zu zeigen, reicht es ja, nur ein Element $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ zu finden, so dass $(b,a) [mm] \notin [/mm] R$.)
Aber wo ist denn die Argumentation dafür, dass [mm] $R_2$ [/mm] transitiv ist? Ich fange mal an damit:
$(1,2) [mm] \in R_2$ [/mm] gilt ja. Nun suche ich alle Elemente in [mm] $R_2$, [/mm] deren erste Komponente die $2$ ist. Davon gibt es nur ein Element, und zwar [mm] $(2,2)\,.$
[/mm]
Also: Da [mm] $(\blue{1},\green{2}) \in R_2$ [/mm] und [mm] $(\green{2},\mathbf{2}) \in R_2$, [/mm] müßte, wenn [mm] $R_2$ [/mm] transitiv ist, auch [mm] $(\blue{1},\mathbf{2}) \in R_2$ [/mm] gelten. Aber das wissen wir ja schon, dass $(1,2) [mm] \in R_2\,.$
[/mm]
Jetzt nimmst Du das Element [mm] $(\blue{1},\green{1}) \in R_2$ [/mm] her. Die letzte Komponente davon ist eine [mm] $\green{1}$, [/mm] also musst Du für alle Elemente der Art [mm] $(\green{1},\mathbf{x}) \in R_2$ [/mm] prüfen, ob auch [mm] $(\blue{1},\mathbf{x}) \in R_2$ [/mm] gilt etc.pp, bis Du alles durchgeklappert hast (was ja relativ schnell vonstatten geht).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Do 06.11.2008 | | Autor: | sethonator |
> sag' es mal genauer. Bei welchem Element in [mm]R_1[/mm] gilt, dass
> das Element kein symmetrisches in [mm]R_1[/mm] hat?
>
Mein Element {1,3} stört mich bei dem ganzen. Da gibt es kein symmetrisches Paar.
> > >
> > > P.S.:
> > > [mm]R_2=\{(1,2),(1,1),(2,2)\}\,[/mm]
> > >
> > > wäre auch eine Relation auf [mm]\{1,\;2,\;3\}\,[/mm] die aber auch
> > > nicht symmetrisch ist. (Warum?) Diese ist allerdings
> > > transitiv. (Warum?)
> >
> > Hier habe ich doch das gleiche Problem wie oben, oder?
>
> Wie meinst Du das? Bezogen auf die Symmetrie ähnlich: Es
> gibt ein Element in [mm]R_2[/mm], welches kein symmetrisches in [mm]R_2[/mm]
> hat. Welches ist das? (Um die Nichtsymmetrie zu zeigen,
> reicht es ja, nur ein Element [mm](a,b) \in R[/mm] zu finden, so
> dass [mm](b,a) \notin R[/mm].)
>
Zur Symmetrie fehlt das Element {2,1} stimmts?
> Aber wo ist denn die Argumentation dafür, dass [mm]R_2[/mm]
> transitiv ist? Ich fange mal an damit:
> [mm](1,2) \in R_2[/mm] gilt ja. Nun suche ich alle Elemente in [mm]R_2[/mm],
> deren erste Komponente die [mm]2[/mm] ist. Davon gibt es nur ein
> Element, und zwar [mm](2,2)\,.[/mm]
>
> Also: Da [mm](\blue{1},\green{2}) \in R_2[/mm] und
> [mm](\green{2},\mathbf{2}) \in R_2[/mm], müßte, wenn [mm]R_2[/mm] transitiv
> ist, auch [mm](\blue{1},\mathbf{2}) \in R_2[/mm] gelten. Aber das
> wissen wir ja schon, dass [mm](1,2) \in R_2\,.[/mm]
>
> Jetzt nimmst Du das Element [mm](\blue{1},\green{1}) \in R_2[/mm]
> her. Die letzte Komponente davon ist eine [mm]\green{1}[/mm], also
> musst Du für alle Elemente der Art [mm](\green{1},\mathbf{x}) \in R_2[/mm]
> prüfen, ob auch [mm](\blue{1},\mathbf{x}) \in R_2[/mm] gilt etc.pp,
> bis Du alles durchgeklappert hast (was ja relativ schnell
> vonstatten geht).
>
Das verstehe ich nicht. Da komm ich einfach nicht drauf
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > sag' es mal genauer. Bei welchem Element in [mm]R_1[/mm] gilt, dass
> > das Element kein symmetrisches in [mm]R_1[/mm] hat?
> >
>
> Mein Element {1,3} stört mich bei dem ganzen. Da gibt es
> kein symmetrisches Paar.
ja, aber schreib' da bitte auch runde Klammern drum. Es ist zwar $(3,1) [mm] \in R_1\,,$ [/mm] aber $(1,3) [mm] \notin R_1\,.$
[/mm]
>
> > > >
> > > > P.S.:
> > > > [mm]R_2=\{(1,2),(1,1),(2,2)\}\,[/mm]
> > > >
> > > > wäre auch eine Relation auf [mm]\{1,\;2,\;3\}\,[/mm] die aber auch
> > > > nicht symmetrisch ist. (Warum?) Diese ist allerdings
> > > > transitiv. (Warum?)
> > >
> > > Hier habe ich doch das gleiche Problem wie oben, oder?
> >
> > Wie meinst Du das? Bezogen auf die Symmetrie ähnlich: Es
> > gibt ein Element in [mm]R_2[/mm], welches kein symmetrisches in [mm]R_2[/mm]
> > hat. Welches ist das? (Um die Nichtsymmetrie zu zeigen,
> > reicht es ja, nur ein Element [mm](a,b) \in R[/mm] zu finden, so
> > dass [mm](b,a) \notin R[/mm].)
> >
>
> Zur Symmetrie fehlt das Element {2,1} stimmts?
Genau, aber auch hier: Schreibe bitte runde Klammern. (Es ist ja ein Paar und keine Menge, bei Mengen würde gelten [mm] $\{1,2\}=\{2,1\}\,.$)
[/mm]
> > Aber wo ist denn die Argumentation dafür, dass [mm]R_2[/mm]
> > transitiv ist? Ich fange mal an damit:
> > [mm](1,2) \in R_2[/mm] gilt ja. Nun suche ich alle Elemente in
> [mm]R_2[/mm],
> > deren erste Komponente die [mm]2[/mm] ist. Davon gibt es nur ein
> > Element, und zwar [mm](2,2)\,.[/mm]
> >
> > Also: Da [mm](\blue{1},\green{2}) \in R_2[/mm] und
> > [mm](\green{2},\mathbf{2}) \in R_2[/mm], müßte, wenn [mm]R_2[/mm] transitiv
> > ist, auch [mm](\blue{1},\mathbf{2}) \in R_2[/mm] gelten. Aber das
> > wissen wir ja schon, dass [mm](1,2) \in R_2\,.[/mm]
> >
> > Jetzt nimmst Du das Element [mm](\blue{1},\green{1}) \in R_2[/mm]
> > her. Die letzte Komponente davon ist eine [mm]\green{1}[/mm], also
> > musst Du für alle Elemente der Art [mm](\green{1},\mathbf{x}) \in R_2[/mm]
> > prüfen, ob auch [mm](\blue{1},\mathbf{x}) \in R_2[/mm] gilt etc.pp,
> > bis Du alles durchgeklappert hast (was ja relativ schnell
> > vonstatten geht).
> >
>
> Das verstehe ich nicht. Da komm ich einfach nicht drauf
Na, ich mache mal ein anderes Beispiel:
[mm] $$R_3=\{\underbrace{(1,2)}_{=:a_1}, \underbrace{(2,3)}_{=:a_2}, \underbrace{(2,4)}_{=:a_3},\underbrace{(3,3)}_{=:a_4}, \underbrace{(1,3)}_{=:a_5},\underbrace{(1,4)}_{=:a_6}\}$$
[/mm]
[mm] $R_3$ [/mm] ist transitiv, denn:
[mm] $\bullet$ [/mm] Zunächst betrachten wir [mm] $a_1=(1,\blue{2}) \in R_3$:
[/mm]
Jetzt suchen wir alle Paare aus [mm] $(R_3)$, [/mm] deren erste Koordinate [mm] $\blue{2}$ [/mm] ist:
Das sind die Paare $(2,3)$ und [mm] $(2,4)\,.$
[/mm]
Wir müssen nun prüfen:
Weil $(1,2) [mm] \in R_3$ [/mm] und $(2,3) [mm] \in R_3\,,$ [/mm] : Ist auch $(1,3) [mm] \in R_3$? [/mm] Ja!
Weil $(1,2) [mm] \in R_3$ [/mm] und $(2,4) [mm] \in R_3\,,$ [/mm] : Ist auch $(1,4) [mm] \in R_3$? [/mm] Ja!
[mm] $\bullet$ [/mm] Nun nehmen wir das Paar [mm] $a_2=(2,3) \in R_3$ [/mm] her. Die zweite Koordinate ist hier $3$, also brauchen wir alle Paare aus [mm] $R_3\,$ [/mm] deren erste Koordinate $3$ ist. Davon gibt es nur eins, nämlich [mm] $(3,3)\,.$ [/mm]
Hier ist also nur zu prüfen:
Weil $(2,3) [mm] \in R_3$ [/mm] und $(3,3) [mm] \in R_3\,$: [/mm] Ist denn auch $(2,3) [mm] \in R_3$? [/mm] Ja!
[mm] $\bullet$ [/mm] Nun nehmen wir das Paar [mm] $a_3=(2,4)$ [/mm] her. Die zweite Koordinate ist hier [mm] $4\,.$ [/mm] Es gibt aber kein Paar aus [mm] $R_3\,$ [/mm] deren erste Koordinate $4$ ist. Also ist hier nichts zu prüfen.
[mm] $\bullet$ [/mm] Wir nehmen das Paar [mm] $a_4=(3,3) \in R_3$ [/mm] her. Die zweite Koordinate ist hier [mm] $3\,.$ [/mm] Es gibt nur das Paar $(3,3)$ selbst, für das zu prüfen ist:
Weil $(3,3) [mm] \in R_3$ [/mm] und $(3,3) [mm] \in R_3$: [/mm] Ist denn auch $(3,3) [mm] \in R_3$? [/mm] Ja!
(Überlege Dir mal, ob man das wirklich so machen muss. Ich habe es nun wirklich der Ausführlichkeit halber hingeschrieben.)
[mm] $\bullet$ [/mm] Wir nehmen nun das Paar [mm] $a_5=(1,3)$ [/mm] her. Die zweite Koordinate ist hier $3$. Also: Prüfpaar(e): [mm] $(3,3)\,.$
[/mm]
Weil $(1,3)$ und $(3,3)$ beide in [mm] $R_3$: [/mm] Ist denn auch $(1,3) [mm] \in R_3$? [/mm] Ja!
[mm] $\bullet$ [/mm] Wir nehmen nun das Paar [mm] $a_6=(1,4) \in R_3$ [/mm] her. Die zweite Koordinate ist [mm] $4\,.$ [/mm] Es gibt aber kein Paar in [mm] $R_3\,,$ [/mm] deren erste Koordinate $4$ ist. Also ist nichts zu prüfen.
Wir haben nun für jedes Paar $(a,b) [mm] \in R_3$ [/mm] geprüft: Für alle Paare $(b,c) [mm] \in R_3$ [/mm] (sofern solche existiren; wenn keine existieren, ist nichts zu prüfen!) gilt auch $(a,c) [mm] \in R_3\,.$ [/mm] Also ist [mm] $R_3$ [/mm] transivitiv.
Gruß,
Marcel
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