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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - basis zeigen
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basis zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:44 Mo 25.01.2010
Autor: meep

Aufgabe
Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von R nach R, vom höchstgrad 2, das heißt, der raum aller funktionen f

f(x) = [mm] c_0 [/mm] + [mm] c_1 [/mm] x + [mm] c_2 x^2 [/mm]

mit [mm] c_0 [/mm] , [mm] c_1 [/mm] , [mm] c_2 [/mm] € R, für alle x € R. Für eine feste reelle zahl t und alle x € R, definiert man

[mm] g_1 [/mm] (x) = 1 , [mm] g_2 [/mm] (x) = x+t , [mm] g_3(x) [/mm] = [mm] (x+t)^2 [/mm]

Zeigen sie, dass B = [mm] {g_1 , g_2 , g_3 } [/mm] eine basis für V ist und bestimmen sie die koordinaten von f € V in B.

hi zusammen,

mein ansatz war folgender:

[mm] a*g_1 [/mm] (x) + [mm] b*g_2 [/mm] (x) + [mm] c*g_3 [/mm] (x) = 0

dann mal [mm] x_1= [/mm] 0 , [mm] x_2=1, x_3=2 [/mm] gesetzt und folgendes LGS bekommen

[mm] \pmat{ 1 & t & t^2 \\ 1 & 1+t & (1+t)^2 \\ 1 & 2+t & (2+t)^2} [/mm]

das hab ich in zeilenstufenform gebracht und das raus bekommen

[mm] \pmat{ 1 & t & t^2 \\ 0 & -1 & -2t-1 \\ 0 & 0 & 2} [/mm]

die matrix hat also vollen rang somit ist [mm] g_1 [/mm] , [mm] g_2 [/mm] , [mm] g_3 [/mm] eine Basis von V, also a=b=c=0.

stimmt das soweit ?

falls ja, mit dem 2ten teil der frage komme ich nicht klar. ich weiß nicht wie ich die koordinaten bestimmen soll...

wäre nett wenn einer mal kritisch drüberschaut.

mfg

meep

        
Bezug
basis zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Mo 25.01.2010
Autor: angela.h.b.


> Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von R
> nach R, vom höchstgrad 2, das heißt, der raum aller
> funktionen f
>  
> f(x) = [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1[/mm] x + [mm]c_2 x^2[/mm]
>  
> mit [mm]c_0[/mm] , [mm]c_1[/mm] , [mm]c_2[/mm] € R, für alle x € R. Für eine
> feste reelle zahl t und alle x € R, definiert man
>  
> [mm]g_1[/mm] (x) = 1 , [mm]g_2[/mm] (x) = x+t , [mm]g_3(x)[/mm] = [mm](x+t)^2[/mm]
>  
> Zeigen sie, dass B = [mm]{g_1 , g_2 , g_3 }[/mm] eine basis für V
> ist und bestimmen sie die koordinaten von f € V in B.
>  hi zusammen,
>  
> mein ansatz war folgender:
>  
> [mm]a*g_1[/mm] (x) + [mm]b*g_2[/mm] (x) + [mm]c*g_3[/mm] (x) = 0
>  
> dann mal [mm]x_1=[/mm] 0 , [mm]x_2=1, x_3=2[/mm] gesetzt und folgendes LGS
> bekommen
>  
> [mm]\pmat{ 1 & t & t^2 \\ 1 & 1+t & (1+t)^2 \\ 1 & 2+t & (2+t)^2}[/mm]
>  
> das hab ich in zeilenstufenform gebracht und das raus
> bekommen
>  
> [mm]\pmat{ 1 & t & t^2 \\ 0 & -1 & -2t-1 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>  
> die matrix hat also vollen rang somit ist [mm]g_1[/mm] , [mm]g_2[/mm] , [mm]g_3[/mm]
> eine Basis von V, also a=b=c=0.
>  
> stimmt das soweit ?

Hallo,

ja.

>  
> falls ja, mit dem 2ten teil der frage komme ich nicht klar.
> ich weiß nicht wie ich die koordinaten bestimmen soll...

Hier ist
f(x) = [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1[/mm] x + [mm]c_2 x^2[/mm]
als Linearkombination von [mm] (1,x,x^2) [/mm] geschreiben.

Du sollst jetzt [mm] \lambda_i [/mm] so bestimmen, daß

[mm] \lambda_1g_1(x)+\lambda_2g_2(x)+\lambda_3g_3(x) [/mm] = [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1[/mm] x + [mm]c_2 x^2[/mm]

Die [mm] \lambda_i [/mm] werden natürlich von den [mm] c_i [/mm] abhängen.

Wenn Du die ausgerechneten [mm] \lambda_i [/mm] in einen Spaltenvektor stapelst, hast Du den Koordinatenvektor von f(x) bzgl der Basis B.

Gruß v. Angela


>  
> wäre nett wenn einer mal kritisch drüberschaut.
>  
> mfg
>  
> meep


Bezug
                
Bezug
basis zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:19 Mo 25.01.2010
Autor: meep

ich weiß nicht ob ich das nun richtig verstanden habe, ich hab mal folgendes gemacht (anstatt [mm] \lambda [/mm] nehm ich k)

[mm] k_1g_1(x)+k_2g_2(x)+k_3g_3(x) [/mm] = [mm] c_0 [/mm] + c_1x + [mm] c_2x^2 [/mm]

[mm] k_1(1)+k_2(x+t)+k_3(x+t)^2 [/mm] = [mm] c_0 [/mm] + c_1x + [mm] c_2x^2 [/mm]

dann mal ausmultipliziert

[mm] k_1 [/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm] k_3x^2 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] 2xt + [mm] k_2 t^2 [/mm] = [mm] c_0 [/mm] + c_1x + [mm] c_2x^2 [/mm]

alles auf eine seite gebracht

[mm] k_1 [/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm] k_3x^2 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] 2xt + [mm] k_2 t^2 -c_0 [/mm] - c_1x - [mm] c_2x^2=0 [/mm]

dann mal ausmultipliziert

[mm] (k_1+k_3t^2 [/mm] - [mm] c_0) [/mm] + [mm] x(k_2+2k_3t-c_1) +x^2(k_3-c_2) [/mm] = 0

also ist [mm] c_0 [/mm] = [mm] k_1+k_3t^2 [/mm] , [mm] c_1 [/mm] = [mm] k_2+2k_3 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] = [mm] k_3 [/mm]

dann hätte ich am ende: f(x) = [mm] k_1+k_3t^2 [/mm] + [mm] (k_2+2k_3)x [/mm] + [mm] k_3x^2 [/mm]

hab ich das also richtig verstanden ?

mfg

meep

Bezug
                        
Bezug
basis zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Mo 25.01.2010
Autor: angela.h.b.


> ich weiß nicht ob ich das nun richtig verstanden habe, ich
> hab mal folgendes gemacht (anstatt [mm]\lambda[/mm] nehm ich k)
>  
> [mm]k_1g_1(x)+k_2g_2(x)+k_3g_3(x)[/mm] = [mm]c_0[/mm] + c_1x + [mm]c_2x^2[/mm]
>  
> [mm]k_1(1)+k_2(x+t)+k_3(x+t)^2[/mm] = [mm]c_0[/mm] + c_1x + [mm]c_2x^2[/mm]
>  
> dann mal ausmultipliziert
>  
> [mm]k_1[/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm]k_3x^2[/mm] + [mm]k_2[/mm] 2xt + [mm]k_2 t^2[/mm] = [mm]c_0[/mm] +
> c_1x + [mm]c_2x^2[/mm]
>  
> alles auf eine seite gebracht
>  
> [mm]k_1[/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm]k_3x^2[/mm] + [mm]k_2[/mm] 2xt + [mm]k_2 t^2 -c_0[/mm] -
> c_1x - [mm]c_2x^2=0[/mm]
>  
> dann mal ausmultipliziert
>  
> [mm](k_1+k_3t^2[/mm] - [mm]c_0)[/mm] + [mm]x(k_2+2k_3t-c_1) +x^2(k_3-c_2)[/mm] = 0

Hallo,

bis hierher prinzipiell richtig, nachgerechnet habe ich nichts.

Nun mußt Du aber die [mm] k_i [/mm] ausrechnen, und nicht die [mm] c_i. [/mm] Die [mm] c_i [/mm] sind ja gegeben.


>  
> also ist [mm]c_0[/mm] = [mm]k_1+k_3t^2[/mm] , [mm]c_1[/mm] = [mm]k_2+2k_3[/mm] und [mm]c_2[/mm] = [mm]k_3[/mm]
>  
> dann hätte ich am ende: f(x) = [mm]k_1+k_3t^2[/mm] + [mm](k_2+2k_3)x[/mm] +
> [mm]k_3x^2[/mm]

Du hast hier die umgekehrte Aufgabe gelöst, nämlich wie man die Darstellung bzgl B in Koordinaten bzgl. der Standardbasis [mm] E=(1,x,x^2) [/mm] schreiben kann, die Antwort wäre hier

[mm] f(x)=\vektor{k_1\\k_2\\k_3}_{(B)}=\vektor{k_1+k_3t^2\\k_2+2k_3\\k_3}_{(E)} [/mm]

>  
> hab ich das also richtig verstanden ?

Fast.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
basis zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:35 Mo 25.01.2010
Autor: meep

ok danke, dann muss es also lauten

[mm] k_1 [/mm] = [mm] c_0-c_2t^2 [/mm]

[mm] k_2= c_1-2c_2 [/mm]

[mm] k_3=c_2 [/mm]

oder ?

mfg

meep



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