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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | | Es liege der Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{A}, [/mm] P) mit Grundraum [mm] \Omega=[0,2], \sigma-Algebra \mathcal{A} [/mm] aller Borelmengen aus [0,2] sowie Wahrscheinlichkeitsmaß P als stetige Gleichverteilung auf dem messbaren Raum [mm] (\Omega,\mathcal{A}) [/mm] zugrunde. Zudem sei X eine Zufallsgröße auf [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) mit [mm] X(\omega)=\begin{cases} 3, & \mbox{falls} \omega \in [\bruch{2}{3},\bruch{4}{3}] \\ 0, & \mbox{falls } \omega \in [0,\bruch{2}{3}) \cup (\bruch{4}{3},2] \end{cases} [/mm] sowie [mm] \mathcal{A}' [/mm] sei die von der Zerlegung [mm] A_{1}=[0,\bruch{1}{3}), A_{2}=[\bruch{1}{3},1), A_{3}=[1,\bruch{3}{2}), A_{4}=[\bruch{3}{2},2] [/mm] des Grundraumes [mm] \Omega=[0,2] [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] (symbolisch [mm] \mathcal{A}'=\sigma(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}). [/mm] Berechnen Sie die bedingte Erwartung [mm] E[X|\mathcal{A}']. [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe. Ich hab das leider in der Vorlesung nicht verstanden. Jetzt muss ich die Aufgabe machen und hab absolut keine Ahnung was ich machen muss. Kann mir vllt jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
riju
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Hiho,
ihr hattet bestimmt in der Vorlesung eine Formel für den Fall, dass die Sigma-Algebra nur aus endlich vielen disjunkten Mengen erzeugt wird.
Recherchiere da mal, dann ist der Rest nur noch einsetzen.
Wenn du nichts findest, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
Danke für den Link.
Wie berechne ich jetzt aber den Erwartungswert [mm] E(X|A_{1})?
[/mm]
Dazu brauche ich doch die Wahrscheinlichkeit von [mm] A_{1} [/mm] oder?
Wenn ja, wie ist denn die Wahrscheinlichkeit [mm] P(A_{1})?
[/mm]
Liebe Grüße
riju
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Hiho,
> Wie berechne ich jetzt aber den Erwartungswert [mm]E(X|A_{1})?[/mm]
Steht doch alles in dem Link.
> Dazu brauche ich doch die Wahrscheinlichkeit von [mm]A_{1}[/mm] oder?
Ja.
> Wenn ja, wie ist denn die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A_{1})?[/mm]
Es steht doch in der Aufgabe: "Wahrscheinlichkeitsmaß P als stetige Gleichverteilung"
Wie ist denn für jedes Intervall $[a,b] [mm] \subseteq [/mm] [0,2]$ P([a,b]) definiert, wenn P die stetige Gleichverteilung auf [0,2] ist?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
> Hiho,
>
> > Wie berechne ich jetzt aber den Erwartungswert
> [mm]E(X|A_{1})?[/mm]
> Steht doch alles in dem Link.
>
> > Dazu brauche ich doch die Wahrscheinlichkeit von [mm]A_{1}[/mm]
> oder?
> Ja.
>
> > Wenn ja, wie ist denn die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A_{1})?[/mm]
> Es steht doch in der Aufgabe: "Wahrscheinlichkeitsmaß P
> als stetige Gleichverteilung"
>
> Wie ist denn für jedes Intervall [mm][a,b] \subseteq [0,2][/mm]
> P([a,b]) definiert, wenn P die stetige Gleichverteilung auf
> [0,2] ist?
[mm] P([a,b])=\bruch{b-a}{2}? [/mm]
Ich bin echt eine Niete in dem Fach :(
>
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> [mm]P([a,b])=\bruch{b-a}{2}?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
> Hiho,
>
> > [mm]P([a,b])=\bruch{b-a}{2}?[/mm]
>
>
> Gruß,
> Gono
Cool :)
Jetzt noch eine Frage. wie berechne ich jetzt E(X Indikatorfunkton von [mm] (A_{i}))?
[/mm]
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Hiho,
> Jetzt noch eine Frage. wie berechne ich jetzt E(X
> Indikatorfunkton von [mm](A_{i}))?[/mm]
erstmal: Verwende doch bitte den Formeleditor, so will das niemand lesen.
Und dann:
Mach dir erstmal klar, wie [mm] $X*1_{A_i}$ [/mm] aussieht.
Kannst du das präzisieren?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
> Hiho,
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> > Jetzt noch eine Frage. wie berechne ich jetzt E(X
> > Indikatorfunkton von [mm](A_{i}))?[/mm]
>
> erstmal: Verwende doch bitte den Formeleditor, so will das
> niemand lesen.
> Und dann:
>
> Mach dir erstmal klar, wie [mm]X*1_{A_i}[/mm] aussieht.
> Kannst du das präzisieren?
Ist das [mm]X(w)[/mm], wenn [mm]w[/mm] in dem Intervall von [mm] A_{i} [/mm] liegt?
Also im ersten Fall wäre [mm]X(w)=0[/mm]?
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> Ist das [mm]X(w)[/mm], wenn [mm]w[/mm] in dem Intervall von [mm]A_{i}[/mm] liegt?
Ja.
> Also im ersten Fall wäre [mm]X(w)=0[/mm]?
Genauer!
Entweder: [mm] $X(w)*1_{A_1}(w) [/mm] = [mm] 0\; \forall\, [/mm] w [mm] \in \Omega$
[/mm]
Oder: [mm] $X*1_{A_1} \equiv [/mm] 0$
Aber nicht [mm] $X\equiv [/mm] 0$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
> Hiho,
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> > Ist das [mm]X(w)[/mm], wenn [mm]w[/mm] in dem Intervall von [mm]A_{i}[/mm] liegt?
>
> Ja.
>
> > Also im ersten Fall wäre [mm]X(w)=0[/mm]?
>
> Genauer!
> Entweder: [mm]X(w)*1_{A_1}(w) = 0\; \forall\, w \in \Omega[/mm]
ok, und wie ist jetzt der Erwartungswert [mm]E(X*1_{A_1})[/mm]?
>
> Oder: [mm]X*1_{A_1} \equiv 0[/mm]
>
> Aber nicht [mm]X\equiv 0[/mm]
>
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> ok, und wie ist jetzt der Erwartungswert [mm]E(X*1_{A_1})[/mm]?
also die Frage zeugt davon, dass du nicht im geringsten selber denkst.... traurig.
Einen Erwartungswert solltest du berechnen können, erst recht so einen trivialen.
Also lies dir alles nochmal durch, mach dir klar, was [mm] $X*1_{A_1}$ [/mm] ist und dann ist der EW klar
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
> Hiho,
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> > ok, und wie ist jetzt der Erwartungswert [mm]E(X*1_{A_1})[/mm]?
>
> also die Frage zeugt davon, dass du nicht im geringsten
> selber denkst.... traurig.
> Einen Erwartungswert solltest du berechnen können, erst
> recht so einen trivialen.
>
> Also lies dir alles nochmal durch, mach dir klar, was
> [mm]X*1_{A_1}[/mm] ist und dann ist der EW klar
>
> Gruß,
> Gono
Ich habe schon lange darüber nachgedacht, nur tue ich mich schwer was das angeht.
Also hier mein Vorschlag:
[mm]X(w)*1_{A_1}(w) = 0 \forall w\in \Omega [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] E(X*1_{A_1})=0 [/mm]
[mm]X(w)*1_{A_2}(w) = \begin{cases} 3, & \mbox{wenn} w \in [\bruch{2}{3},1) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] E(X*1_{A_2})=3*P(\bruch{2}{3}\le X \le 1)+0*(1-P(\bruch{2}{3}\le X \le 1)) = \bruch{3}{6} [/mm]
[mm]X(w)*1_{A_3}(w) = \begin{cases} 3, & \mbox{wenn} w \in [1,\bruch{4}{3}] \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] E(X*1_{A_3})=3*P(1\le X \le \bruch{4}{3})+0*(1-P(1\le X \le \bruch{4}{3})) = \bruch{1}{6} [/mm]
[mm]X(w)*1_{A_4}(w) = 0 \forall w\in \Omega [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] E(X*1_{A_4})=0 [/mm]
Ist das richtig?
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Hiho,
> Also hier mein Vorschlag:
> [mm]X(w)*1_{A_1}(w) = 0 \forall w\in \Omega[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]E(X*1_{A_1})=0[/mm]
> [mm]X(w)*1_{A_2}(w) = \begin{cases} 3, & \mbox{wenn} w \in [\bruch{2}{3},1) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]E(X*1_{A_2})=3*P(\bruch{2}{3}\le X \le 1)+0*(1-P(\bruch{2}{3}\le X \le 1)) = \bruch{3}{6}[/mm]
auch wenn da formal eigentlich stehen müsste [mm] $P(\bruch{2}{3}\le [/mm] X < 1)$, da wir ja ein halboffenes Intervall haben. Für die stetige Gleichverteilung P gilt jedoch [mm] $P(\bruch{2}{3}\le [/mm] X < 1) = [mm] P(\bruch{2}{3}\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 1)$.
Bei anderen Aufgaben könnte das allerdings mal eine Rolle spielen.
> [mm]X(w)*1_{A_3}(w) = \begin{cases} 3, & \mbox{wenn} w \in [1,\bruch{4}{3}] \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]E(X*1_{A_3})=3*P(1\le X \le \bruch{4}{3})+0*(1-P(1\le X \le \bruch{4}{3})) = \bruch{1}{6}[/mm]
Wie kommst du auf die [mm] $\bruch{1}{6}$? [/mm] Ich vermute aber mal, dass das nur ein Tippfehler ist.
> [mm]X(w)*1_{A_4}(w) = 0 \forall w\in \Omega[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]E(X*1_{A_4})=0[/mm]
>
> Ist das richtig?
Sieht doch schon mal prima aus.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Do 04.12.2014 | | Autor: | riju |
Ja, es war ein Tippfehler.
Vielen Dank für die Hilfe.
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