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Hallo.
V ist ein Vektorraum, f: V ---> [mm] V^{*} [/mm] lineare Abbildung
Ich weiß, dass eine bilineare Abbildung [mm] \beta [/mm] = [mm] \beta_{f}: [/mm] V x V ----> K durch die folgenden Rechenregeln erfüllen muss:
1. [mm] \beta(v,\lambda_{1}w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}w_{2}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}\beta(v,w_{1})+\lambda_{2}\beta(v,w_{2})
[/mm]
2. [mm] \beta(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2},w) [/mm] = [mm] \lambda_{1}\beta(v_{1},w) [/mm] + [mm] \lambda_{2}\beta(v_{2},w)
[/mm]
Ich soll jetzt beweisen, dass die Rechenregeln gelten, wenn [mm] \beta(v,w) [/mm] = f(v)(w) ; v,w [mm] \in [/mm] V; gilt.
Reicht es da zu zeigen:
1. [mm] \beta(v,\lambda_{1}w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}w_{2}) [/mm] = [mm] f(v)(\lambda_{1}w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}w_{2}) [/mm] = [mm] f(v)(\lambda_{1}w_{1})+f(v)(\lambda_{2}w_{2}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}f(v)(w_{1}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}f(v)(w_{2}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}\beta(v,w_{1}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}\beta(v,w_{2})
[/mm]
Analog bei 2.
???
Ich soll auch zeigen, dass es zu jeder bilinearer Abbildung [mm] \beta: [/mm] V x V ---> K eine lineare Abbildung f: V ---> [mm] V^{*} [/mm] mit [mm] \beta [/mm] = [mm] \beta_{f} [/mm] gibt.
Hier weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll! Hat da vielleicht jemand einen Tipp?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 15.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
> V ist ein Vektorraum, f: V ---> [mm]V^{\*}[/mm] lineare Abbildung
> Ich weiß, dass eine bilineare Abbildung [mm]\beta[/mm] = [mm]\beta_{f}:[/mm]
> V x V ----> K durch die folgenden Rechenregeln erfüllen
> muss:
> 1. [mm]\beta(v,\lambda_{1}w_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}w_{2})[/mm] =
> [mm]\lambda_{1}\beta(v,w_{1})+\lambda_{2}\beta(v,w_{2})[/mm]
> 2. [mm]\beta(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2},w)[/mm] =
> [mm]\lambda_{1}\beta(v_{1},w)[/mm] + [mm]\lambda_{2}\beta(v_{2},w)[/mm]
>
> Ich soll jetzt beweisen, dass die Rechenregeln gelten, wenn
> [mm]\beta(v,w)[/mm] = f(v)(w) ; v,w [mm]\in[/mm] V; gilt.
>
> Reicht es da zu zeigen:
> 1. [mm]\beta(v,\lambda_{1}w_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}w_{2})[/mm] =
> [mm]f(v)(\lambda_{1}w_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}w_{2})[/mm] =
> [mm]f(v)(\lambda_{1}w_{1})+f(v)(\lambda_{2}w_{2})[/mm] =
> [mm]\lambda_{1}f(v)(w_{1})[/mm] + [mm]\lambda_{2}f(v)(w_{2})[/mm] =
> [mm]\lambda_{1}\beta(v,w_{1})[/mm] + [mm]\lambda_{2}\beta(v,w_{2})[/mm]
Völlig richtig! Hier nutzt du also die Linearität von $f(v) [mm] \in V^{\*}$ [/mm] aus.
> Analog bei 2.
> ???
Stimmt, dort musst du die Linearität von $f$ selbst ausnutzen.
> Ich soll auch zeigen, dass es zu jeder bilinearer Abbildung
> [mm]\beta:[/mm] V x V ---> K eine lineare Abbildung f: V ---> [mm]V^{*}[/mm]
> mit [mm]\beta[/mm] = [mm]\beta_{f}[/mm] gibt.
> Hier weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll! Hat da
> vielleicht jemand einen Tipp?
Sicher. Definiere:
$f: [mm] \begin{array}{ccc} V & \to & V^{\*} \\[5pt] v & \mapsto & \beta(v,\cdot) \end{array}$,
[/mm]
wobei für festes $v [mm] \in [/mm] V$
[mm] $\beta(v,\cdot) [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} V & \to & \IK \\[5pt] w & \mapsto & \beta(v,w) \end{array}$
[/mm]
sei.
Zeige nun, dass $f$ wohldefiniert ist (also: $f(v) [mm] \in V^{\*}$ [/mm] für alle $v [mm] \in [/mm] V$) und dass $f$ linear ist.
Nach Konstruktion ist klar, dass [mm] $\beta_f=\beta$ [/mm] gilt, denn
[mm] $\beta_f(v,w) [/mm] = f(v)(w) = [mm] \beta(v,\cdot)(w) [/mm] = [mm] \beta(v,w)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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