explizite darst. von Folge. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] a_{n+1} [/mm] − [mm] 3a_{n} [/mm] = −4 für [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] a_{0} [/mm] = 5 |
Ich soll die explizite Darstellung der Folgeglieder finden und auch den Limes für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] berechnen.
Habe schon ein wenig gegogglet aber kein Formel gefunden, mit der ich die Umwandlung die explizite Darstellung vornehmen kann... kann mir jemand erklären was genau die explizite Darstellung ist und wie ich dahin komme?
Gruß
Ganzir
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Hallo ganzir,
> [mm]a_{n+1}[/mm] − [mm]3a_{n}[/mm] = −4 für [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]a_{0}[/mm] =
> 5
> Ich soll die explizite Darstellung der Folgeglieder finden
> und auch den Limes für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
> berechnen.
[mm]a_{n+1}-3a_n = -4 \Leftrightarrow a_{n+1}=3a_n-4.[/mm]
Jetzt mußt du die Formel an einem Beispiel ausprobieren und nach Bildungsgesetzen (in Form von geschlossenen Formeln) gucken:
[mm]a_5 = 3a_4-4 = 3(3a_3-4)-4 = 3^2a_3 -3\cdot{4}-4=3^2(3a_2-4) -3\cdot{4}-4=3^3a_2-3^2\cdot{4} -3\cdot{4}-4[/mm]
[mm]= 3^4a_1-3^3\cdot{4}-3^2\cdot{4} -3\cdot{4}-4=3^5a_0-3^4\cdot{4}-3^3\cdot{4}-3^2\cdot{4} -3^1\cdot{4}-3^0\cdot{4}[/mm]
Also könnte man vermuten, die Formel lautet: [mm]\textstyle a_n = 3^n\cdot{5}-4\sum_{k=0}^{n-1}{3^k}[/mm].
Versuche die Formel mit vollständiger Induktion zu beweisen. (Hab's gerade gemacht, die Formel stimmt.)
Viele Grüße
Karl
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