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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Di 01.04.2008 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | | Bestimme die Extrema von [mm] x^2+y [/mm] auf dem Quadrat Q={(x,y)|0 [mm] \le x\le [/mm] 1, [mm] 0\le y\le [/mm] 1} |
Also ich hab mal die Ableitungen gebildet:
f'(x,y)= (2x, 1)
f''(x,y)= [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
So jetzt weiß ich allerdings nicht mehr weiter. Danke für Eure Hilfe 
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> Bestimme die Extrema von [mm]x^2+y[/mm] auf dem Quadrat Q={(x,y)|0 [mm] \le x\le1, 0\le y\le [/mm] 1}
Hallo,
> Also ich hab mal die
partiellen
> Ableitungen gebildet:
[mm] f_x(x,y)=2x
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=1
[/mm]
Das ergibt den Gradienten
[mm] gradf(x,y)=\vec{2x\\1}.
[/mm]
(Schreib es lieber in dem Stile auf.)
Um nun die lokalen Extremwerte auf [mm] \IR^2 [/mm] zu ermitteln, setzt man den Gradienten =0, löst das entstehende Gleichungssystem und bekommt so eventuelle Kandidaten für Extremwerte, welche man anschließend mit der Hessematrix genauer untersucht.
Also: Gradient =0 ergibt
2x=0
1=0.
Ein unlösbares Gleichungssystem, welches uns sagt, daß wir über ganz [mm] \R^2 [/mm] keine lokalen Extrema, also Gipfel oder Talsohlen, finden werden.
> f''(x,y)= [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
Deshalb brauchen wir auch die Hessematrix, welche Du korrekt aufgestellt hast, nicht mehr.
Nun haben wir aber ein abgeschlossenes ("umzäuntes") Gebiet, müssen also noch die Ränder des Quadrates untersuchen, zeichne es Dir ruhig mal auf.
Also die Bereiche mit (x,0) [mm] 0\le x\le [/mm] 1 (unterer Rand),
(x,1) [mm] 0\le x\le [/mm] 1 (obererer Rand)
(0,y) [mm] 0\le y\le [/mm] 1 (linker Rand),
(1,y) [mm] 0\le y\le [/mm] 1 (recher Rand).
Berechne in allen Bereichen die etwaigen Extrema und schau Dir zum Schluß noch die Funktionswerte der Eckpunkte an. Wo "Knicke" sind, muß man gesondert schauen.
Exemplarisch zur Untersuchung des rechten Randes.
Ich betrachte hierfür [mm] f(1,y)=1^2+y=1+y [/mm] und führe hier eine Extremwertberechnung durch. Wie in der Schule, es gibt nur noch eine Variable.
Ergebnis: kein Extremwert.
Versuch mal, weiterzumachen.
Gruß v. Angela
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