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ggT Aufgabe Beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mo 11.01.2010
Autor: dana1986

Aufgabe
Seien [mm] a\ge1, b\ge1, k\ge1 [/mm] und [mm] t\ge [/mm] natürliche Zahlen. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) ggT(a*b, k*t) = 1
b) ggT(a,b) = ggT(b,k) = ggT(k,t) = ggT(a,t) = 1

Hi,

also ich hab heute die Aufgabe bekommen und bräuchte nen Ansatz wie ich das beweisen kann.

LG
Dana

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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ggT Aufgabe Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Mo 11.01.2010
Autor: reverend

Hallo Dana,

das kannst du nicht beweisen. Es ist nämlich falsch.

Einfaches Gegenbeispiel: a=3, b=21, k=5, t=10.

Da hätte als Aufgabe stehen müssen:

> Seien [mm]a\ge1, b\ge1, k\ge1[/mm] und [mm]t\ge[/mm] natürliche Zahlen.
> Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
>  
> a) [mm] ggT(a*b,k*t)=1 [/mm]
>  b) [mm] ggT(a,\green{k})=ggT(b,k)= ggT(\green{b},t)=ggT(a,t)=1 [/mm]

Mit den beiden grünen Änderungen macht es mehr Sinn. Dann sind die beiden Richtungen der Äquivalenz zu zeigen.

lg
reverend

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ggT Aufgabe Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Mo 11.01.2010
Autor: dana1986

hi erstmal danke, aber das steht so in der Aufgabe :(

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ggT Aufgabe Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Mo 11.01.2010
Autor: reverend

Tja, auch Aufgabensteller machen Fehler.

Es reicht ja ein Gegenbeispiel. Du wirst leicht ein anderes finden als meins.

Trotzdem kannst Du ja schonmal die "richtige" Aufgabenstellung beweisen. Dann freut sich jemand... - mindestens schonmal Du selbst. ;-)

lg
reverend

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ggT Aufgabe Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Mo 11.01.2010
Autor: dana1986

also kann ich a) beweisen und b) nicht?

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ggT Aufgabe Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Di 12.01.2010
Autor: reverend

Darum geht es doch gar nicht.

Du sollst doch zeigen, dass die beiden Aussagen äuqivalent sind. Das heißt also: aus a) folgt b) und aus b) folgt a)

[mm] a\Rightarrow{b}\ \wedge\ b\Rightarrow{a} [/mm]

also [mm] a)\gdw{b)} [/mm]

Ein Gegenbeispiel zeigt, dass a) wahr und b) falsch sein kann.

Übrigens lässt sich auch leicht ein Gegenbeispiel finden, so dass b) wahr und a) falsch ist.

lg
rev

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ggT Aufgabe Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:52 Di 12.01.2010
Autor: dana1986

ach sooo jetzt hab ich das gecheckt :)

Also setz ich z.B. a) voraus und zeig dann dass b) nicht wahr sein kann.

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ggT Aufgabe Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:57 Di 12.01.2010
Autor: reverend

Auch noch nicht ganz.

Wenn Du a) voraussetzt, kann b) wahr sein. Du sollst aber zeigen, dass es dann wahr sein muss, und das ist eben nicht der Fall, genausowenig wie umgekehrt.

Gute Nacht,
reverend

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ggT Aufgabe Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:05 Di 12.01.2010
Autor: dana1986

dank dir ich probiers mal der Weg ist das Ziel :)

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ggT Aufgabe Beweise: Originalaufgabenstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:58 Mi 13.01.2010
Autor: Marc

Hallo zusammen,

es spielt wahrscheinlich keine Rolle mehr, da reverend den Tippfehler von dana1986 bereits konsistent behoben hat, zur Sicherheit (und Archivierungszwecken ;-)) hier aber noch mal die Originalaufgabenstellung:

Aufgabe
Seien [mm] $a\ge [/mm] 1, [mm] b\ge [/mm] 1, [mm] k\ge [/mm] 1$ und [mm] $t\ge [/mm] 1$ natürliche Zahlen.
Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

(i) [mm] $\ggT(a*k, [/mm] b*t) = 1$
(ii) [mm] $\ggT(a,b) [/mm] = [mm] \ggT(a,t) [/mm] = [mm] \ggT(b,k) [/mm] = [mm] \ggT(k,t) [/mm] = 1$.


(Der Tippfehler war also in der Aussage (i))

Viele Grüße,
Marc

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ggT Aufgabe Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Mi 13.01.2010
Autor: reverend

Hallo Marc,

woher hast Du eigentlich immer die Originale? :-)

So macht die Aufgabe endlich Sinn - natürlich den gleichen, wie mit meiner Korrektur. Der nachzuweisende Sachverhalt ist hier ja auch der einzig interessante, und so offensichtlich er scheint, so nett ist es, dafür einen Beweis zu finden.

Liebe Grüße
reverend

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ggT Aufgabe Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Mi 13.01.2010
Autor: dana1986

oh ja jetzt seh ich es auch sorry :)

aber die Äquivalenz geht trotzdem nicht?

Bezug
                
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ggT Aufgabe Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Mi 13.01.2010
Autor: reverend

Hallo Dana,

doch - wenn die Aufgabe so ist, wie Marc sie angegeben hat (oder so, wie ich vermutet habe), dann sind die beiden Aussagen äquivalent.

Das musst Du nur noch zeigen. :-)

lg
rev

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ggT Aufgabe Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Do 14.01.2010
Autor: dana1986

ja nur wie? ich will schon mal so ein bisschen wiederholen für die Klausur am 20.2. aber irgendwie fehlen mir so die Grundlagen, das hab ich in der Schule nie gemacht und Bücher hab ich auch noch keine guten gefunden

Bezug
                                
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ggT Aufgabe Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Do 14.01.2010
Autor: SEcki


> ja nur wie? ich will schon mal so ein bisschen wiederholen
> für die Klausur am 20.2. aber irgendwie fehlen mir so die
> Grundlagen, das hab ich in der Schule nie gemacht und
> Bücher hab ich auch noch keine guten gefunden

Mit Teilbarkeit. Sei zB [m]ggT(a,b)=x> 1[/m], dann gilt also [m]x|a, x|b[/m], und damit dann [m]1
SEcki

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ggT Aufgabe Beweise: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:50 Sa 16.01.2010
Autor: Sandkastenrocker

habe auch diese Aufgabe...aber etwas ist bei mir noch nicht ganz klar:

wenn ich also jetzt 1<ggT(a*k,b*t) habe, reicht das als Aussage für die Äquivalenz?

Und den umgedrehten Fall mit den Primzahlen ist bei mir auch noch nicht so ganz angekommen...sorry

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ggT Aufgabe Beweise: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 18.01.2010
Autor: matux

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