injektiv,surjektiv,bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen.
Ich habe ein ganz großes Verständnisproblem mit der Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Funktionen.
Geschrieben werden diese Abbildungen ja mit f:A [mm] \to [/mm] B.
A ist der Definitionsbereich
B ist der Wertebereich oder auch Bild genannt
f:A [mm] \to [/mm] B bedeutet im Prinzip auch f(x)=y
injektiv heißt, wenn jedes Element der Menge B (Wertebereich) höchstens einmal getroffen wird, d.h. wenn zwei verschiedene Werte von A (Definitionsbereich) immer auch verschiedene Bilder erzeugen.
surjektiv heißt, wenn jedes Element von B (Wertebereich) getroffen wird, d.h. wenn das Bild gleich der ganzen Menge B ist
bijektiv heißt, wenn injektiv und surjektiv
Worauf müsste ich jetzt auf der x- Achse und y- Achse achten, um aussagen zu können, ob eine Funktion injektiv oder surjektiv ist???
|
|
| |
|
> Hallo zusammen.
> Ich habe ein ganz großes Verständnisproblem mit der
> Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von
> Funktionen.
> Geschrieben werden diese Abbildungen ja mit f:A [mm]\to[/mm] B.
> A ist der Definitionsbereich
> B ist der Wertebereich oder auch Bild genannt
> f:A [mm]\to[/mm] B bedeutet im Prinzip auch f(x)=y
Hallo, nein, das bedeutet, daß jedem Element aus A eines aus B zugeordnet wird.
> injektiv heißt, wenn jedes Element der Menge B
> (Wertebereich) höchstens einmal getroffen wird, d.h. wenn
> zwei verschiedene Werte von A (Definitionsbereich) immer
> auch verschiedene Bilder erzeugen.
> surjektiv heißt, wenn jedes Element von B (Wertebereich)
> getroffen wird, d.h. wenn das Bild gleich der ganzen Menge
> B ist
> bijektiv heißt, wenn injektiv und surjektiv
> Worauf müsste ich jetzt auf der x- Achse und y- Achse
> achten, um aussagen zu können, ob eine Funktion injektiv
> oder surjektiv ist???
Bei Funktionen die von [mm] \IR \to \IR [/mm] gehen, so:
injektiv: jede Parallele zur x-Achse wird höchstens einmal geschnitten vom Graphen.
surjektiv: jede Parallele zur x-Achse wird mindestens einmal geschnitten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Gut okay.
Dann wäre also folgende Funktion
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] f(x)=x²+2x
nicht injektiv und somit auch nicht umkehrbar. Es sei denn wir grenzen den Definitionsbereich ein. Allerdings nicht in der Aufgabe gefragt.
|
|
|
| |
|
> Gut okay.
> Dann wäre also folgende Funktion
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] f(x)=x²+2x
> nicht injektiv und somit auch nicht umkehrbar. Es sei denn
> wir grenzen den Definitionsbereich ein. Allerdings nicht in
> der Aufgabe gefragt.
Hallo,
Genau.
Die Funktion ist nicht injektiv, denn es ist (z.B.) f(-2)=f(0).
Sie ist auch nicht surjektiv, denn wir finden kein x mit f(x)=-2.
Wenn wir den Definitions- und Wertebeich eingrenzen, können wir sogar eine Bijektion draus machen:
[mm] f_{bij}: [/mm] [ [mm] -\infty, [/mm] -1] [mm] \to [/mm] [-1, [mm] \infty]
[/mm]
[mm] f_{bij}(x):=f(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [ [mm] -\infty, [/mm] -1] .
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Super scheint ja endlich mal verständlich zu sein.
Jetzt habe ich folgende 2 Funktionen:
g: [-1,5, [mm] \infty[ \to \IR, [/mm] g(x)=x²
die Intervallgrenze in negativer Richtung ist -1,5.
Die in positiver Richtung offen.
Allerdings auch nicht auf dem Intervall von [-1,5, [mm] \infty] [/mm] injektiv. Demnach gibt es keine Umkehrfunktion und wir können den Definitionsbereich der Umkehrfunktion nicht einschränken.
h:[3,8] [mm] \to \IR, [/mm] h(x)=(x-3)²
Diese ist natürlich nur auf dem Intervall von 3,8 injektiv und somit auch umkehrbar.
Die Umkehrfunktion lautet:
[mm] h^-^1(x)=\wurzel{x}+3
[/mm]
Beim Definitionsbereich haperts allerdings ein wenig. Auf jedenfall darf x nicht kleiner Null sein, da sonst die Wurzel nicht gezogen werden kann. Ich würde jetzt sagen Definitionsbereich ist [mm] [0,\infty[
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Super scheint ja endlich mal verständlich zu sein.
> Jetzt habe ich folgende 2 Funktionen:
> g: [-1,5, [mm] \infty[ \to \IR, [/mm] g(x)=x²
> die Intervallgrenze in negativer Richtung ist -1,5.
> Die in positiver Richtung offen.
> Allerdings auch nicht auf dem Intervall von [-1,5, [mm]\infty][/mm]
> injektiv.
Ja, das ist richtig. Falls es für eine HÜ ist, gib zwei Stellen an, die denselben Funktionswert haben.
> Demnach gibt es keine Umkehrfunktion
Nein, wenn wir die Funktion auf dem Intervall [-1,5, [mm] \infty[ [/mm] betrachten, können wir sie nicht umkehren.
Zum Umkehren müßten wir Definitions- und Wertebereich so einschränken, daß wir eine bij. Funktion haben,
also [mm] g_{bij}: [0,\infty] \to [0,\infty] [/mm] mit [mm] g_{bij}(x):=g(x) [/mm] für alle [mm] x\in [0,\infty] [/mm] .
> h:[3,8] [mm]\to \IR,[/mm] h(x)=(x-3)²
> Diese ist natürlich nur auf dem Intervall von 3,8 injektiv
> und somit auch umkehrbar.
Injektivität reicht nicht für Umkehrbarkeit. Sie ist eine Voraussetzung für Umkehrbarkeit.
Nur Funktionen, die injektiv und surjektiv sind, also bijektiv, können wir umkehren.
h ist zwar injektiv, aber nichtsurjektiv, denn wir finden kein x mit h(x)=-1.
Wir können aber durch Einschränkung der Wertebereiches eine surjektive Abb. draus bauen:
[mm] h_{bij}:[3,8][/mm] [mm][mm] \to [/mm] [h(3),h(8)]=[0, 25] mit [mm] h_{bij}(x):=h(x) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] [3,8] .
Wenn wir das so einschränken, gibt es in diesem Bereich eine Umkehrfünktion, deren Funktionsvorschrift Du schon richtig angibst:
> Die Umkehrfunktion lautet:
> [mm]h^-^1(x)=\wurzel{x}+3[/mm]
> Beim Definitionsbereich haperts allerdings ein wenig. Auf
> jedenfall darf x nicht kleiner Null sein, da sonst die
> Wurzel nicht gezogen werden kann. Ich würde jetzt sagen
> Definitionsbereich ist [mm][0,\infty[[/mm]
Nein, wenn Du in Deine Umkehrfunktion x=36 einsetzt, erhältst Du [mm] h^{-1}(36)= [/mm] 6+3=9, und das liegt außerhalb v. [3,8] .
Ich denke, mit der Def. meiner bij. Abbildung habe ich Dir aber eine Anregung für den Def.bereich der Umkehrfunktion gegeben. Er muß das Bild des Def.bereiches der Funktion h sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ja dumm gelaufen ich habe das nicht als 3 und 8 sondern als 3,8 gelesen. Wie dumm. Mein Fehler.
Gut also das der bijektivität habe ich jetzt verstanden.
Sollte eine Funktion injektiv aber nicht surjektiv sein, kann man sie immernoch einschränken um sie surjektiv und somit bijektiv zu machen.
Den Begriff der Injektivität habe ich verstanden.
Den Begriff der surjektivität allerdings nur bildlich. Könnten Sie das mit
wir finden kein x mit h(x)=-1 oder wir finden kein x mit f(x)=-2 etwas genauer erklären??? Wäre echt nett.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo DominicVandrey,
Ich habe die Diskussion zwar nicht ganz mitverfolgt, aber hilft dir folgendes Beispiel beim Verständnis weiter?
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen Dominic,
> Sollte eine Funktion injektiv aber nicht surjektiv sein,
> kann man sie immernoch einschränken um sie surjektiv und
> somit bijektiv zu machen.
Vorsicht: Wenn du einfach sagst "einschränken" dann versteht man darunter eine Verkleinerung der Definitionsmenge.
Um eine injektive Funktion auch surjektiv (und damit bijektiv) zu machen, müssen wir den Wertebereich (auch Wertemenge genannt) auf das Bild der Definitionsmenge unter f (also auf alle Werte, die tatsächlich erreicht werden) einschränken. So etwas nennt man auch "Nachbeschränkung", weil die Einschränkung "hinten" beim Wertebereich stattfindet.
> Den Begriff der Injektivität habe ich verstanden.
> Den Begriff der surjektivität allerdings nur bildlich.
> Könnten Sie das mit
Wir duzen uns hier alle 
> wir finden kein x mit h(x)=-1 oder wir finden kein x mit
> f(x)=-2 etwas genauer erklären??? Wäre echt nett.
Eine Funktion f: A --> B ist surjektiv, wenn alle Elemente der Wertemenge B irgendwo einmal "erreicht" werden.
Das heißt, es muß zu jedem $b [mm] \in [/mm] B$ mindestens ein $a [mm] \in [/mm] A$ geben, so daß f(a) = b ist. Wenn du beweisen willst, daß eine Funktion nicht surjektiv ist, dann reicht es, ein $b [mm] \in [/mm] B$ anzugeben, das eben nicht erreicht wird, also zu dem es kein $a [mm] \in [/mm] A$ gibt, so daß f(a) = b ist.
Bildlich gesprochen dehnt sich der Graph einer surjektiven reellen Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] nach oben und nach unten unendlich aus, wenn die Definitionsmenge auf der horizontalen x-Achse und die Wertemenge auf der vertikalen y-Achse aufgetragen werden.
Angela hatte das oben mit den Parallelen (mit kleinem Vertipper) schön erklärt.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
Gut also injektiv ist mir jetzt klar bedeutet eigentlich nichts anderes als strenge monotonie.
surjektiv hatte mir jetzt Karl_Pech anhand folgendem Beispiel versucht zu erklären:
Zeigen Sie, dass injektiv aber nicht surjektiv anhand folgender Funktion:
[mm] \bruch{x}{x-2}
[/mm]
ob injektiv oder nicht möchte ich jetzt nicht prüfen da mir der Begriff klar ist.
surjektiv: Da es kein x gibt aus dem folgt [mm] \bruch{x}{x-2}=1 [/mm] gilt, dass nicht surjektiv. Merke surjektiv heißt ,,Alle Elemente der Wertemenge werden getroffen.''
Mir ist klar worauf er hinaus will. Allerdings ist mir nicht klar, warum gerade die 1 gewählt wird. Und mir ist nicht ganz klar ob es reicht die surjektivität dann nur auf einer solchen Zahl festzumachen.
|
|
|
| |
|
Hallo Dominic,
na klar reicht das
Du hast die Aussage [mm] $f(x)=\frac{x}{x-2}$ [/mm] ist surjektiv auf [mm] $\IR$
[/mm]
dh. für alle [mm] \quad y\in\IR [/mm] gibt's ein [mm] x\in\IR [/mm] mit f(x)=y
Wenn du nun ein einziges Gegenbsp. findest, zB das mit y=1, so kann duch die Aussage, die in der Surjektivität steckt, nicht für alle [mm] y\in\IR [/mm] gelten
Sie tut's ja für y=1 nicht, denn es gibt halt NICHT ein (also kein) [mm] x\in\IR [/mm] mit f(x)=y=1
Verneinen wir doch mal ganz formal die Aussage: [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] ist surjektiv
f surjektiv heißt:
[mm] $\forall y\in\IR\exists x\in\IR:f(x)=y$
[/mm]
Das verneint:
[mm] $\neg\left(\forall y\in\IR\exists x\in\IR:f(x)=y\right)$
[/mm]
gleichbedeutend mit: [mm] $\exists y\in\IR\forall x\in\IR:f(x)\neq [/mm] y$
Also ist NICHT-Surjektivität eine Existenzaussage, also genügt die Angabe eines Elementes
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay also ich hatte ja schonmal folgendes Beispiel genannt:
(x-3)² im Intervall von [3,8]
Ist definitiv injektiv.
Nun möchte ich prüfen ob es auch injektiv ist. Will nur mal gucken, ob ich das richtig anwende.
f(x)=(x-3)²
nehmen wir mal f(3)=(3-3)²
dann ist das=0.
Kann ich jetzt sagen nicht surjektiv???
Dann baue ich aber eine surjektive durch f(3) und f(8)=[0,25]
also ist sie hier surjektiv
|
|
|
| |
|
Hallo Dominic,
das musst du genauer angeben,
das hängt immer vom Definitions- UND vom Zielbereich ab.
Wenn deine Funktion [mm] $f:\IR\to [/mm] [0,8]$ geht mit [mm] $f(x)=(x-3)^2$, [/mm] so ist sie doch sicherlich surjektiv
oder soll sie von [mm] $[0,8]\to [/mm] [0,8]$ gehen?
Schreib nochmal genauer, von wo nach wo dein $f$ abbildet
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Also di Funktion lautet:
[mm] h:[3,8]\to\IR x\to(x-3)²
[/mm]
Ist nicht injektiv.
Und surjektiv hatte ich versucht zu lösen.
Da sie nur in [3,8] definiert ist, kann ich nur in diesem Intervall auf surjektivität prüfen. nehme ich die 3 lautet die Funktion:
3=(x-3)²
Nun muss ich ein x finden, welches mit der Funktion die 3 ergibt. Das zu prüfen kann meiner Meinung nach ganz schön lange dauern.
|
|
|
| |
|
Hi Dominic,
> Also di Funktion lautet:
> [mm]h:[3,8]\to\IR x\to(x-3)²[/mm]
> Ist nicht injektiv. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso nicht? Auf dem Definitionsbereich, also auf dem Intervall [3,8] ist die Funktion sehr wohl injektiv!
Welches [mm] $y\in\IR$ [/mm] wird denn von 2 verschiedenen [mm] $x_1,x_2\in [/mm] [3,8]$ getroffen?
> Und surjektiv hatte ich versucht zu lösen.
> Da sie nur in [3,8] definiert ist, kann ich nur in diesem
> Intervall auf surjektivität prüfen. nehme ich die 3 lautet
> die Funktion:
> 3=(x-3)²
> Nun muss ich ein x finden, welches mit der Funktion die 3
> ergibt. Das zu prüfen kann meiner Meinung nach ganz schön
> lange dauern.
Auf dem Intervall [3,8] nimmt doch die Funktion nur Werte zwischen 0 und 25 an, also wirst du für y=3 schon ein [mm] \tilde{x}\in [/mm] [3,8] finden mit [mm] f(\tilde{x})=3
[/mm]
Machen wir das mal exemplarisch: [mm] $(\tilde{x}-3)^2=3\Rightarrow \tilde{x}-3=\pm\sqrt{3}\Rightarrow\tilde{x}=3\pm\sqrt{3}$
[/mm]
Nehmen wir die positive Wurzel, so ist [mm] $\tilde{x}=3+\sqrt{3}$ [/mm] sicher aus dem Intervall [3,8] und es gilt [mm] f(\tilde{x})=3
[/mm]
Aber was ist mit allen reellen Zahlen >25 oder <0?
Kann es dazu jeweils ein Urbild x [mm] \in [/mm] [3,8] geben?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ja ich meinte ja das sie injektiv ist. Das auf alle Fälle. Hatte ich den posts davor auch so geschrieben.
Also gut wenn wir das zwischen dem Intervall [3,8] betrachten, dann ist sie surjektiv für [0,25]. Ich mach das jetzt auch mal exemplarisch für die Zahl 26. Ich will gucken, ob sie dort auch surjektiv ist.
also nehme ich die Umkehrfunktion:
(x-3)²=26 [mm] \Rightarrow x-3=\pm\wurzel{26} \Rightarrow x=3\pm\wurzel{26}
[/mm]
Das ergibt mehr als 8 liegt also außerhalb vom Intervall und ist ab hier nicht mehr surjektiv???
|
|
|
| |
|
super kann ich gleich mal 4 Aufgaben selber berechnen und ihr guckt ob die richtig sind??? Nur wenn es okay ist!
|
|
|
| |
|
nur zu
|
|
|
| |
|
Dankeschön.
Also die Aufgabe lautet:
Sind die folgenden Funktionen injektiv? Falls ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion einschließlich des (maximalen) Definitionsbereichs!
a) [mm] f:\IR\to\IR,f(x)=x³+5.
[/mm]
Diese Funktion ist definitiv injektiv. Injektivität ist eine Vorraussetzung für die Umkehrfunktion aber noch nicht relevant. Relevant ist zudem noch die surjektivität. Damit die Funktion bijektiv wird und somit dann Umkehrbar ist.
Prüfen auf surjekttivität:
x³+5=8 [mm] \Rightarrow x=\wurzel[3]{8-5}
[/mm]
Das Ergebnis ist [mm] \IR. [/mm] Somit ist die Funktion auch surjektiv somit umkehrbar.
Umkehrfunktion: [mm] y=\wurzel[3]{x-5}
[/mm]
[mm] Definitionsbereich:]-\infty,+\infty[
[/mm]
|
|
|
| |
|
b) [mm] g:\IR\to\IR,f(x)=-5x²-9
[/mm]
Ist nicht injektiv. Den Rest kann man sich sparen
|
|
|
| |
|
c) [mm] h:[-2,\infty[\to\IR,h(x)=x²+6x+19
[/mm]
Ist im betrachteten Intervall injektiv.
Prüfung auf surjektivität: Hier ist es schon ein bischen schwieriger.
x²+6x+19=-2
x²=-2-6x-19
[mm] x=\wurzel[3]{-2-6-19}
[/mm]
Wenn ich alles richtig gemacht habe, dann liegt hier nicht mehr surjektivität vor.
allerdings müsste surjektivität für [mm] [17,\infty[ [/mm] vorliegen.
Die Umkerfunktion lautet: [mm] y=\wurzel[3]{x-6-19}
[/mm]
|
|
|
| |
|
d) [mm] k:]1,\infty[\to\IR,k(x)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{1-x}
[/mm]
Funktion ist im betrachteten Intervall injektiv.
Prüfung auf surjektivität:
x darf nicht 1 sein, da sonst eine Definitionslücke entsteht.
[mm] \bruch{1}{x}+\bruch{1}{1-x}=5
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}+1=5x
[/mm]
1=4.
Kann mir nciht vorstellen, dass das richtig ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:46 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> surjektiv: jede Parallele zur y-Achse wird mindestens einmal geschnitten.
Da hat Angela sich vertippt:
surjektiv: jede Parallele zur x-Achse wird mindestens einmal geschnitten.
Jede Parallele zur y-Achse wird von jeder Funktion stets genau einmal geschnitten, wenn der x-Wert noch in der Definitionsmenge liegt.
Gruß
Will
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Ich mach das
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
