k-Algebra und Lie-Algebra < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mi 29.10.2008 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | Welche der folgenden k-Vektorräume sind k-Algebren und welche sind Lie-Algebren.
a) symmetrische 2x2-Matrizen über k.
b)schiefsymmetrische 3x3-Matrizen über k.
c) [mm] \pmat{ \IR & \IC \\ 0 & \IC } [/mm] für [mm] k=\IR.
[/mm]
[mm] d)\pmat{ \IC & \IC \\ 0 & \IC } [/mm] für [mm] k=\IC.
[/mm]
(Dabei sind alle Algebren mit der natürlichen Matrizenmultiplikation versehen, alle Lie-Algebren mit der Lie-Klammer [a,b]:= ab-ba.) |
für eine Lie-Algebra gilt doch folgendes:
[x,x] = 0
[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0
und für eine k-Algebra gilt doch, dass es immer eine bilineare verknüpfung AxA [mm] \to [/mm] A gibt, oder?
aber wie zeig ich das genau?
Eine bilineare Verknüpfung hat doch die Eigenschaft, dass die Verknüpfung schiefsymmetrisch ist, oder??
Aber wie kann ich das zeigen??
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mi 29.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Welche der folgenden k-Vektorräume sind k-Algebren und
> welche sind Lie-Algebren.
> a) symmetrische 2x2-Matrizen über k.
> b)schiefsymmetrische 3x3-Matrizen über k.
> c) [mm]\pmat{ \IR & \IC \\ 0 & \IC }[/mm] für [mm]k=\IR.[/mm]
> [mm]d)\pmat{ \IC & \IC \\ 0 & \IC }[/mm] für [mm]k=\IC.[/mm]
> (Dabei sind alle Algebren mit der natürlichen
> Matrizenmultiplikation versehen, alle Lie-Algebren mit der
> Lie-Klammer [a,b]:= ab-ba.)
> für eine Lie-Algebra gilt doch folgendes:
> [x,x] = 0
> [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0
> und für eine k-Algebra gilt doch, dass es immer eine
> bilineare verknüpfung AxA [mm]\to[/mm] A gibt, oder?
> aber wie zeig ich das genau?
mach dir klar, dass die entsprechenden vollen matrizenringe [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] sowohl $k$-algebren als auch lie-algebren sind (sowas hattet ihr bestimmt auch in der vorlesung, oder?). danach musst du dann nur noch überprüfen (da die teilmenegen laut aufgabe schon untervektorräume sind), ob die teilmengen $U$ bezüglich der inneren verknüpfung abgeschlossen sind, das heißt ob für $A, B [mm] \in [/mm] U$ stets auch [mm] $A\cdot [/mm] B [mm] \in [/mm] U$ beziehungsweise $[A, B] [mm] \in [/mm] U$ gilt. probiere das doch mal.
> Eine bilineare Verknüpfung hat doch die Eigenschaft, dass
> die Verknüpfung schiefsymmetrisch ist, oder??
was meinst du damit?
grüße
andreas
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