konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:48 Do 05.04.2007 | | Autor: | Markus23 |
| Aufgabe | Ich habe in der Uni die Konvergenzkriterien kennengelernt,
das sind Quotientenkriterium, Majorantenkriterium Wurzelkri und Leibnitz. |
Meine Fragen:
1. Ich verstehe den zusammenhang zu Konvergenzradius nicht, gibt es da einen?
2. Was ist dieser konvgenzradius?
3. Wie kann man festlegen ob eine Funktion divergent oder konvergent ist.
Aufgabe:
Hier habe ich eine aufgabe wo ich den konvergenzradius berechnet habe
f(x)=ln (1+x)
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n})/(\bruch{1}{n+1})=|1|
[/mm]
4.Wo ist diese Funktion divergent und wo konvergent?
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Hallo Markus,
> Ich habe in der Uni die Konvergenzkriterien kennengelernt,
> das sind Quotientenkriterium, Majorantenkriterium Wurzelkri
> und Leibnitz.
> Meine Fragen:
> 1. Ich verstehe den zusammenhang zu Konvergenzradius
> nicht, gibt es da einen?
Ja es gibt einen. Man bestimmt ja mittels Quotienten- oder Wurzelkriterium ein q<1, mit dem du dann über Konvergenz oder Divergenz entscheidst. Es gibt nun zwei Formeln, aber sie sagen dasselbe (nachzulesen im Kön igsberger, Analysis 1): [mm] R=\bruch{1}{L} [/mm] mit [mm] L=limsup\wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] (Cauchy-Hadamard) und [mm] R=\bruch{1}{q} [/mm] mit [mm] q=|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|, [/mm] falls der Grenzwert existiert (Euler).
>
> 2. Was ist dieser konvgenzradius?
Konvergenzradien werden für Potenzreihen definiert. Es gelten i.Ü. auch nur für die diese Formeln da oben. Der Konvergenzradius R ist also die größte Zahl für welche die Potenzreihe für alle x mit [mm] |x-x_{0}|
Ach so: eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}
[/mm]
Grüße, Daniel
(Sorry, für den Rest habe ich keine Zeit mehr!)
>
> 3. Wie kann man festlegen ob eine Funktion divergent oder
> konvergent ist.
>
> Aufgabe:
> Hier habe ich eine aufgabe wo ich den konvergenzradius
> berechnet habe
> f(x)=ln (1+x)
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n})/(\bruch{1}{n+1})=|1|[/mm]
>
> 4.Wo ist diese Funktion divergent und wo konvergent?
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 05.04.2007 | | Autor: | Markus23 |
Hallo
ich habe in der Uni das Quotientenkriterium so aufgeschriben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an+1}{an}
[/mm]
den konvergensradius habe ich so
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an}{an+1}
[/mm]
das ist doch nicht das gleich oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 05.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn der Grenzwert exestiert dann ist das ja gerade der Kehrwert und nicht das selbe.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 05.04.2007 | | Autor: | nsche |
der Zusammenhang zwischen dem Quotientenkriterium umd dem Konvergenzradius (r) wird dir vielleicht so einsichtig:
[mm]b_{n}=a_{n}x^{n}; b_{n+1}=a_{n+1}x^{n+1}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{b_{n+1}}{b_{n}}|[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}}|[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}x^{n}x}{a_{n}x^{n}}|[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}x}{a_{n}}|[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}|x|[/mm]
[mm]=|x| \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} < 1[/mm]
[mm]=|x| < \bruch {1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}} [/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} = r[/mm]
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 05.04.2007 | | Autor: | Markus23 |
kannst du mir noch erklären was du in den letzten drei Schritten gemacht hast
[mm]=|x| \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} < 1[/mm]
[mm]=|x| < \bruch {1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} = r[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 05.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
> [mm]=|x| \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} < 1[/mm]
>
> [mm]=|x| < \bruch {1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier wurde die Ungleichung durch $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}}$ geteilt.
Da wir hier mit den Beträgen arbeiten, ist der Term auch stets positiv und wir müssen das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen.
> [mm]= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} = r[/mm]
Dieser Schritt ist nun simple Bruchrechnung: man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
Zudem wird hier nun der Konvergenzradius $r_$ eingeführt mit der Definition, dass gilt: $|x| \ < \ r$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 05.04.2007 | | Autor: | Markus23 |
danke für die schnelle Antwort kannst du mir das noch bei dieser potenzreihe erklären.
ich habe hier die Potenzreihe von f(x)=ln (1+x)
[mm] P(x)=\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\bruch{1}{n}x^{n}
[/mm]
man also den Konvergenzradius einmal über
1. [mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}/\bruch{1}{n+1}=|1|
[/mm]
und
2. [mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+1}/\bruch{1}{n}=|1|
[/mm]
berechnen man muss woll die 2 formel so umformen wie gerade ich komme aber nicht da drauf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich habe hier die Potenzreihe von f(x)=ln (1+x)
> [mm]P(x)=\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\bruch{1}{n}x^{n}[/mm]
>
> man also den Konvergenzradius einmal über
> 1.
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}/\bruch{1}{n+1}=|1|[/mm]
> und
> 2.
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+1}/\bruch{1}{n}=|1|[/mm]
> berechnen
NEIN hier sind zufaellig beide GW 1, deshalb merkt man den Unterschied nicht!
Aber [mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] ist der Konvergenzradius! und NICHT [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
> man muss woll die 2 formel so umformen wie
> gerade ich komme aber nicht da drauf.
was du mit dem umformen meinst versteh ich nicht!
Sieh dir doch nochmal in den vorherigen posts (oder nem Buch) an, was ein Konvergenzradius ist, und wie man auf die Formel dafuer kommt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Do 05.04.2007 | | Autor: | Markus23 |
ich dachte, man kann diese formel
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] umformen und auch den konvergenzradius berechen.
Danke an alle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 05.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die 1. und 2. Frage ist ja geklärt, oder? Deine 3. und 4. Frage verstehe ich nicht so ganz. Was meinst du mit "Wie kann man feststellen, ob eine Funktion konvergiert?" Meinst du das im Zusammenhang mit Potenzreihen? Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb des Konvergenzkreises und divergiert außerhalb. Oder meinst du das für allgemeine Funktionen? Dort musst du den Grenzwert versuchen auszurechnen oder mit verschiedenen Kriterien arbeiten (Cauchy). Gegen was läuft den deine Funktion in 4..
Gruß
Hund
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