lineares hamilton vektorfeld < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:18 Mo 03.07.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | für eine hamiltonfunkton H in [mm] \mathcal{C}^{2}(\IR^{2},\IR) [/mm] wird das zugehörige "hamiltonsche vektorfeld" g definiert durch
g: [mm] \IR^{2} \in [/mm] x [mm] \mapsto \vektor{\bruch{\partial H}{\partial x_{2}}(x) \\ -\bruch{\partial H}{\partial x_{1}}(x)} \in \IR^{2}.
[/mm]
zeige: ist g ein lineares hamiltonsches vektorfeld, so besitzt g entweder zwei reelle eigenwerte [mm] \lambda [/mm] und [mm] -\lambda [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] > 0 oder zwei konjugiert komplexe eigenwerte [mm] i\alpha [/mm] und [mm] -i\alpha [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] > 0. |
hallo forum-mitglieder!
ich weiß bei dieser aufgabe einfach nicht richtig, wie ich das zeigen soll.
was heißt es genau, wenn das vektorfeld linear ist? was gilt dann?
und wie kann ich aus g die eigenwerte berechnen? wie sieht die matrix eigentlich genau aus?
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen! Vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
> für eine hamiltonfunkton H in [mm]\mathcal{C}^{2}(\IR^{2},\IR)[/mm]
> wird das zugehörige "hamiltonsche vektorfeld" g definiert
> durch
> g: [mm]\IR^{2} \in[/mm] x [mm]\mapsto \vektor{\bruch{\partial H}{\partial x_{2}}(x) \\ -\bruch{\partial H}{\partial x_{1}}(x)} \in \IR^{2}.[/mm]
>
> zeige: ist g ein lineares hamiltonsches vektorfeld, so
> besitzt g entweder zwei reelle eigenwerte [mm]\lambda[/mm] und
> [mm]-\lambda[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] > 0 oder zwei konjugiert komplexe
> eigenwerte [mm]i\alpha[/mm] und [mm]-i\alpha[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] > 0.
> hallo forum-mitglieder!
>
> ich weiß bei dieser aufgabe einfach nicht richtig, wie ich
> das zeigen soll.
> was heißt es genau, wenn das vektorfeld linear ist? was
> gilt dann?
linear ist doch klar: $g(ax+by)=ag(x)+bg(y)$.
> und wie kann ich aus g die eigenwerte berechnen? wie sieht
> die matrix eigentlich genau aus?
nimm dir eine basis des [mm] \IR^2 [/mm] und bestimme die zugehörige Matrix zur linearen Abbildung g.
Ich habe allerdings noch eine Frage: muss eine Hamiltonfunktion spezielle Eigenschaften erfüllen? das ist natürlich auch wichtig, um die aufgabe zu lösen.
Gruß
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:36 Mo 03.07.2006 | | Autor: | VHN |
hallo matthias!
danke erstmal für deine antwort. ich wusste aber jetzt nicht genau, wie ich die aufgabe nach deinem tipp lösen sollte. aber ich hab es nun bisschen anders versucht.
vllt kannst du mir sagen, ob es richtig ist und u.u. verbessern.
also: ich hab mir folgendes gedacht. es gilt doch:
x = [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] und
[mm] \bruch{\partial H}{\partial x_{2}} [/mm] (x) = [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] und
[mm] \bruch{\partial H}{\partial x_{1}} [/mm] (x) = [mm] -h(x_{1},x_{2})
[/mm]
ich setze das nun ins vektorfeld g ein:
g(x) = [mm] \vektor{f(x_{1},x_{2}) \\ h(x_{1},x_{2})}
[/mm]
g(x) = x' = [mm] \vektor{f \\ h} [/mm] (x)
nun kann ich aber f und h wie folgt schreiben:
f(x) = [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] ax_{1} [/mm] + [mm] bx_{2}
[/mm]
h(x) = [mm] h(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] cx_{1} [/mm] + [mm] dx_{2}
[/mm]
eingesetzt in g:
g(x) = [mm] \vektor{f \\ h} [/mm] (x) = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{x_{1} \\ x_{2}}
[/mm]
setze [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] := A
also x' = Ax.
um die eigenwerte herauszukriegen, betrachte folgendes:
[mm] det(A-\lambda [/mm] E) = [mm] \pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda }
[/mm]
= [mm] (a-\lambda)(d-\lambda) [/mm] - bc
= ad - bc + [mm] \lambda [/mm] (a-d) + [mm] \lambda_{2}
[/mm]
wenn ich aber nun mit der "mitternachtsformel" nach [mm] \lambda [/mm] auflöse, komme ich aber nicht auf das gewünschte.
ist mein ansatz komplett falsch? wenn ja, kannst du mir dann bitte etwas näher erklären, wie ich nach deiner methode die aufgabe lösen kann?
wie muss ich dann die basis vo [mm] \IR^{2} [/mm] wählen?
vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 07.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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