lokal gleichmäßige Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 02.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Es sei f: C->C eine ganze Funktion. Wie üblich bezeichne [mm]f^{(k)} [/mm]die k-te Ableitung von f.
Zeige, dass die Funktionenreihe
[mm]g(z):= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}[/mm]
lokal gleichmäßig konvergiert und durch g: C->C, z->g(z) eine ganze Funktion definiert wird. |
Hallo erstmal,
ich weiß bei dieser Aufgabe einfach nicht was ich da machen soll. Wie kann man lokal gleichmäßige Konvergenz zeigen? Ich weiß nur, dass ich ein Supremum brauche, damit ich irgendwie nach Weierstrass dann die lokal gleichmäßige Konvergenz folgern kann. Aber ich kapiere das nicht.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Grüße TTaylor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: C->C eine ganze Funktion. Wie üblich bezeichne
> [mm]f^{(k)} [/mm]die k-te Ableitung von f.
>
> Zeige, dass die Funktionenreihe
>
> [mm]g(z):= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}[/mm]
>
> lokal gleichmäßig konvergiert und durch g: C->C, z->g(z)
> eine ganze Funktion definiert wird.
> Hallo erstmal,
>
> ich weiß bei dieser Aufgabe einfach nicht was ich da machen
> soll. Wie kann man lokal gleichmäßige Konvergenz zeigen?
> Ich weiß nur, dass ich ein Supremum brauche, damit ich
> irgendwie nach Weierstrass dann die lokal gleichmäßige
> Konvergenz folgern kann. Aber ich kapiere das nicht.
>
> Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
>
> Grüße TTaylor
>
Für r>0 sei [mm] K_r [/mm] = { z [mm] \in \IC: [/mm] |z| [mm] \le [/mm] r }. Es genügt zu zeigen: die Funktionenreihe konvergiert auf [mm] K_r [/mm] gleichmäßig.
Weiter sei [mm] \gamma_r(t) [/mm] := [mm] (r+2)e^{it} [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 2\pi]) [/mm] und [mm] M_r [/mm] := max{ |f(z)| : |z| = r+2 }
Für z [mm] \in K_r [/mm] und w auf dem Träger von [mm] \gamma_r [/mm] gilt: |z-w| [mm] \ge [/mm] 2.
Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung und der Standardabschätzung für Wegintegrale folgt für z [mm] \in K_r:
[/mm]
[mm] |\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| =|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r) [/mm] = [mm] \bruch{(r+2)M_r}{2^{k+1}}
[/mm]
Hieraus folgt: die Funktionenreihe konvergiert auf [mm] K_r [/mm] gleichmäßig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 03.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe, mir sind aber leider noch ein paar Dinge unklar.
Es genügt zu
> zeigen: die Funktionenreihe konvergiert auf [mm]K_r[/mm]
> gleichmäßig.
Warum genügt das zu zeigen?
> Weiter sei [mm]\gamma_r(t)[/mm] := [mm](r+2)e^{it}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [0, [mm]2\pi])[/mm] und
> [mm]M_r[/mm] := max{ |f(z)| : |z| = r+2 }
>
> Für z [mm]\in K_r[/mm] und w auf dem Träger von [mm]\gamma_r[/mm] gilt: |z-w|
> [mm]\ge[/mm] 2.
>
>
> Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung und
> der Standardabschätzung für Wegintegrale folgt für z [mm]\in K_r:[/mm]
>
>
> [mm]|\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| [/mm]=[mm]|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r)[/mm]
> = [mm]\bruch{(r+2)M_r}{2^{k+1}}[/mm]
>
>
Mir ist das mit der Cauchyschen Integralformel klar.
> [mm]|\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| =|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| [/mm]
wenn ich jetzt sage, dass [mm] |w-z|^{n+1}[/mm]> [mm](\bruch{r}{2})^{n+1} [/mm]für alle z mit [mm]|z-z_0|[/mm]<[mm]\bruch{r}{2}, |w-z_0|=r[/mm]
und
[mm] |f(w)|<= sup {|f(w)|:|w-z_0|=r} [/mm] das Supremum über stetige, reelwertige Funktionen |f| über kompakte Mengen ist endlich [mm]{w:|w-z_0}=r}[/mm]
Hieraus folgt dann
[mm]|f^{n}(z_0)|<= 2^{n+1} \bruch{n!}{r^{n+1}} sup {|f(w)|: |w-z_0|=r} [/mm]
An dieser Stelle verstehe ich nicht wie man auf das [mm] 2^{n+1} [/mm] kommt???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine schnelle Hilfe, mir sind aber leider
> noch ein paar Dinge unklar.
>
> Es genügt zu
> > zeigen: die Funktionenreihe konvergiert auf [mm]K_r[/mm]
> > gleichmäßig.
>
> Warum genügt das zu zeigen?
Was heißt "lokal glm. kovergent" ? Antwort: glm. Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge.
Ist K eine kompakte Teilmenge, so gibt es ein r>0: K [mm] \subseteq K_r
[/mm]
>
>
> > Weiter sei [mm]\gamma_r(t)[/mm] := [mm](r+2)e^{it}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [0, [mm]2\pi])[/mm] und
> > [mm]M_r[/mm] := max{ |f(z)| : |z| = r+2 }
> >
> > Für z [mm]\in K_r[/mm] und w auf dem Träger von [mm]\gamma_r[/mm] gilt: |z-w|
> > [mm]\ge[/mm] 2.
> >
> >
> > Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung und
> > der Standardabschätzung für Wegintegrale folgt für z [mm]\in K_r:[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]|\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| [/mm]=[mm]|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r)[/mm]
> > = [mm]\bruch{(r+2)M_r}{2^{k+1}}[/mm]
> >
> >
>
> Mir ist das mit der Cauchyschen Integralformel klar.
>
> > [mm]|\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| =|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}|[/mm]
>
> wenn ich jetzt sage, dass [mm]|w-z|^{n+1}[/mm]> [mm](\bruch{r}{2})^{n+1} [/mm]für
> alle z mit [mm]|z-z_0|[/mm]<[mm]\bruch{r}{2}, |w-z_0|=r[/mm]
>
> und
> [mm]|f(w)|<= sup {|f(w)|:|w-z_0|=r}[/mm] das Supremum über stetige,
> reelwertige Funktionen |f| über kompakte Mengen ist endlich
> [mm]{w:|w-z_0}=r}[/mm]
>
> Hieraus folgt dann
>
> [mm]|f^{n}(z_0)|<= 2^{n+1} \bruch{n!}{r^{n+1}} sup {|f(w)|: |w-z_0|=r}[/mm]
>
> An dieser Stelle verstehe ich nicht wie man auf das [mm]2^{n+1}[/mm]
> kommt???
Warum hälst Du Dich nicht an meine Bezeichnungen ? was bei Dir r/2 ist, ist bei mir r. Was bei Dir r ist ist bei mir r+2.
Wirds jetzt klarer?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 03.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
> >
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe es jetzt fast verstanden. Bis auf folgendes:
> > > Weiter sei [mm]\gamma_r(t)[/mm] := [mm](r+2)e^{it}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [0, [mm]2\pi])[/mm] und
> > > [mm]M_r[/mm] := max{ |f(z)| : |z| = r+2 }
> > >
> > > Für z [mm]\in K_r[/mm] und w auf dem Träger von [mm]\gamma_r[/mm] gilt: |z-w|
> > > [mm]\ge[/mm] 2.
> > >
> > >
> > > Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung und
> > > der Standardabschätzung für Wegintegrale folgt für z [mm]\in K_r:[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > [mm]|\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| [/mm]=[mm]|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r)[/mm]
> > > = [mm]\bruch{(r+2)M_r}{2^{k+1}}[/mm]
Ich verstehe diesen Schritt nicht: [mm]|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r)[/mm]
Ich verwende jetzt doch die Cauchysche Ungleichung aber ich verstehe es einfach nicht.
Grüße TTaylor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> > >
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Ich habe es jetzt fast verstanden. Bis auf folgendes:
>
> > > > Weiter sei [mm]\gamma_r(t)[/mm] := [mm](r+2)e^{it}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [0, [mm]2\pi])[/mm] und
> > > > [mm]M_r[/mm] := max{ |f(z)| : |z| = r+2 }
> > > >
> > > > Für z [mm]\in K_r[/mm] und w auf dem Träger von [mm]\gamma_r[/mm] gilt: |z-w|
> > > > [mm]\ge[/mm] 2.
> > > >
> > > >
> > > > Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung und
> > > > der Standardabschätzung für Wegintegrale folgt für z [mm]\in K_r:[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > [mm]|\bruch{f^{(k)}(z)}{k!}| [/mm]=[mm]|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r)[/mm]
> > > > = [mm]\bruch{(r+2)M_r}{2^{k+1}}[/mm]
>
> Ich verstehe diesen Schritt nicht: [mm]|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^{k+1}} dw}| \le \bruch{1}{2\pi}\bruch{M_r}{2^{k+1}}L(\gamma_r)[/mm]
>
> Ich verwende jetzt doch die Cauchysche Ungleichung aber ich
> verstehe es einfach nicht.
Es ist |f| [mm] \le M_r [/mm] auf [mm] \gamma_r [/mm] , |w-z| [mm] \ge [/mm] 2, also [mm] \bruch{1}{|w-z|} \le [/mm] 1/2
FRED
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> Grüße TTaylor
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