offene Abb u diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 So 11.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 39: Offene Abbildungen
Sei U eine offene Teilmenge des [mm] R^n [/mm] und f : U [mm] \to R^n [/mm] eine C1-Abbildung, so dass Df(x) für alle x [mm] \in [/mm] U invertierbar ist.
Beweisen Sie, dass für alle offenen Mengen V [mm] \subset [/mm] U das Bild
f(V ) [mm] \subset R^n [/mm] offen ist. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 38: Differenzierbarkeit
Sei U [mm] \subset R^n [/mm] offen und a [mm] \in [/mm] U.
Beweisen Sie die nützliche Äquivalenz: Eine Abbildung
f : U [mm] \to R^m [/mm] ist genau dann total differenzierbar in a, wenn es eine in a stetige Abbildung R : U [mm] \to [/mm] R^(m×n) gibt, so dass für alle x [mm] \in [/mm] U gilt:
f(x) = f(a) + R(x) · (x − a).
Hinweis: Bei bekanntem Rest r setzen Sie
R(x) := Df(a) + [mm] 1/\parallel(x-a)\parallel² [/mm] r(x) · (x − [mm] a)^t [/mm] falls x [mm] \not= [/mm] a,
Df(a) falls x = a.
Bei bekannter Abbildung R setzen Sie r(x) := (R(x) − R(a)) · (x − a). |
Hi!
Ich habe mich schon doof und dämlich probiert an den Aufgaben, finde aber keinen Ansatz, der mich weiter bringt.
Außerdem hab ich das Problem, dass meine Zettelpartnerin krank ist und ich den Zettel so alleine machen muss.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand Tipps zur Lösung geben könnte - Brauche nur nen Ansatz, mit dem ich dann weiterrechnen kann.
Danke!
LG
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Hallo Lee,
mal ein tip zur ersten aufgabe:
nimm dir also ein [mm] $y_0$ [/mm] aus $f(V)$. Nach Vor. gibt es ein [mm] $x_0\in [/mm] V$, so dass [mm] $f(x_0)=y_0$. [/mm] Da $V$ offen ist, gibt es eine Umgebung $W$ von [mm] $x_0$, [/mm] die in V liegt.
jetzt musst du noch geschickt den satz von der inversen Funktion anwenden und du bist fertig.
zu 2 wäre es interessant zu wissen, wie ihr genau die diffbarkeit definiert habt.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Definition: f heißt (total) diffbar in a [mm] \in [/mm] U falls eine Matrix A [mm] \in [/mm] R^(m x n) ex. sodass die durch f(x) = f(a) + A*(x-a) + r(x) def. Abb. die Eigenschaft r(x) / Norm(x-a) geht gegen 0 für x gegen a hat
A = Df(a)
DANKE SCHONMAL!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Vielen Vielen Dank für die Tipps zur 1. Aufgabe - so habe ich es sogar geschafft, sie alleine zu lösen.
Kannst du mir auch noch was zu der anderen sagen? Hoffe, die Def. hat dir weitergeholfen.
danke!
lg
Linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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