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| Aufgabe | hallo zusammen,
ich hänge bei folgender aufgabe.
löse das randwertproblem mit hilfe der methode der charakteristik.
[mm]x*\frac{\partial(u)}{\partial(y)} +y\frac{\partial(u)}{\partial(y)}=2u [/mm], [mm]u(x,1)=g(x),x e R,y>0[/mm] |
also als 1. muss ich die parametrisierung finden --> [mm]\gamma (s)=(s,1,g(s))[/mm]
2. system der charakteristiken:
[mm]x_{t} (t,s)=x[/mm]
[mm]y_{t} (t,s)=y[/mm]
[mm]u_{t} (t,s)=2u[/mm]
mit
[mm]x(0,s)=s[/mm]
[mm]y(0,s)=1[/mm]
[mm]u(0,s)=g(s)[/mm]
dann das system gew. DGL
[mm]x(t,s)=c1(s)e^t[/mm]
[mm]y(t,s)=c2(s)e^t[/mm]
[mm]u(t,s)=2c3(s)e^t[/mm]
die lsg muss nun die anfangsbedingung erfüllen
[mm]s=x(0,s)=c1(s)[/mm]
[mm]1=y(0,s)=c2(s)[/mm]
[mm]g(s)=u(0,s)=2c3(s)[/mm]
so und jetzt hängts... weiß jemand weiter??
danke
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Hallo Sabrinchen101,
> hallo zusammen,
> ich hänge bei folgender aufgabe.
> löse das randwertproblem mit hilfe der methode der
> charakteristik.
> [mm]x*\frac{\partial(u)}{\partial(y)} +y\frac{\partial(u)}{\partial(y)}=2u [/mm],
> [mm]u(x,1)=g(x),x e R,y>0[/mm]
>
> also als 1. muss ich die parametrisierung finden --> [mm]\gamma (s)=(s,1,g(s))[/mm]
>
> 2. system der charakteristiken:
> [mm]x_{t} (t,s)=x[/mm]
> [mm]y_{t} (t,s)=y[/mm]
> [mm]u_{t} (t,s)=2u[/mm]
>
> mit
> [mm]x(0,s)=s[/mm]
> [mm]y(0,s)=1[/mm]
> [mm]u(0,s)=g(s)[/mm]
>
> dann das system gew. DGL
> [mm]x(t,s)=c1(s)e^t[/mm]
> [mm]y(t,s)=c2(s)e^t[/mm]
> [mm]u(t,s)=2c3(s)e^t[/mm]
>
> die lsg muss nun die anfangsbedingung erfüllen
> [mm]s=x(0,s)=c1(s)[/mm]
> [mm]1=y(0,s)=c2(s)[/mm]
> [mm]g(s)=u(0,s)=2c3(s)[/mm]
>
> so und jetzt hängts... weiß jemand weiter??
Setze die ermittelten c1,c2,c3 in das System gewöhnlicher DGLn ein
und löse zwei Gleichungen nach s und t auf.
Setze dies dann in die 3. verbliebene Gleichung ein.
> danke
>
Gruss
MathePower
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c1,c2,c3 in die gew. DGL eingesetzt gibt
[mm]x(t,s)=s*e^t[/mm]
[mm]y(t,s)=e^t[/mm]
[mm]u(t,s)=g(s)*e^t[/mm]
dann nehm ich die ersten beiden, daraus bekomm ich t=log(y)
und [mm] s=x*e^t=x/y
[/mm]
in (3) [mm] u(t,s)=g(s)e^t=g(x/y)e^{logy}=g(x/y)*y
[/mm]
stimmt das so?
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Hallo Sabrinchen101,
> c1,c2,c3 in die gew. DGL eingesetzt gibt
> [mm]x(t,s)=s*e^t[/mm]
> [mm]y(t,s)=e^t[/mm]
> [mm]u(t,s)=g(s)*e^t[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]u(t,s)=g(s)*e^{\blue{2}t}[/mm]
> dann nehm ich die ersten beiden, daraus bekomm ich
> t=log(y)
> und [mm]s=x*e^t=x/y[/mm]
> in (3) [mm]u(t,s)=g(s)e^t=g(x/y)e^{logy}=g(x/y)*y[/mm]
>
> stimmt das so?
Gruss
MathePower
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oh ja stimmt, danke.
s und t müssten aber trotzdem stimmen.
d.h ich bekomm nur für [mm] u(t,s)=g(x/y)*y^2 [/mm] , oder??
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Hallo Sabrinchen101,
> oh ja stimmt, danke.
>
> s und t müssten aber trotzdem stimmen.
>
> d.h ich bekomm nur für [mm]u(t,s)=g(x/y)*y^2[/mm] , oder??
Die Lösung lautet nun mehr:
[mm]u\left(x,y\right)=g\left(\bruch{x}{y}\right)*y^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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alles klar :)
ich hab noch ne aufgabe von der form
[mm]x\frac{\partial u}{\partial x} +2y\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial z}=3u[/mm]
[mm]u(x,y,0)=g(x,y)[/mm] x,y [mm] \in \mathbb [/mm] R
also als erstes hab ich wieder die parametrisierung
[mm]\gamma (s)=(s,s,0,g(s,s))[/mm]
das system der charakteristiken
[mm] x_{t} [/mm] (t,s)=x
[mm] y_{t} [/mm] (t,s)=2y
[mm] z_{t} [/mm] (t,s)=1
[mm] u_{t} [/mm] (t,s)=3u
mit
x(0,s)=s (--> oder muss es hier x(0,0,s) heißen???)
y(0,s)=s
z(0,s)=0
u(0,s)=g(s,s)
system gew. dgl
[mm] x(t,s)=c1(s)e^t
[/mm]
y(t,s)=c2(s)e^2t
z(t,s)=c3(s)+t
u(t,s)=c4(s)e^3t
muss anfangsbed. erfüllen
s=x(0,s)=c1(s)
s=y(0,s)=c2(s)
0=z(0,s)=c3(s)
g(s,s)=u(0,s)=c4(s)
[mm] -->x(t,s)=s*e^t
[/mm]
[mm] y(t,s)=s*e^t
[/mm]
z(t.s)=t
[mm] u(t,s)=g(s,s)e^t
[/mm]
stimmt das alles soweit??
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Hallo Sabrinchen101,
> alles klar :)
> ich hab noch ne aufgabe von der form
> [mm]x\frac{\partial u}{\partial x} +2y\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial z}=3u[/mm]
>
> [mm]u(x,y,0)=g(x,y)[/mm] x,y [mm]\in \mathbb[/mm] R
>
> also als erstes hab ich wieder die parametrisierung
> [mm]\gamma (s)=(s,s,0,g(s,s))[/mm]
> das system der
> charakteristiken
> [mm]x_{t}[/mm] (t,s)=x
> [mm]y_{t}[/mm] (t,s)=2y
> [mm]z_{t}[/mm] (t,s)=1
> [mm]u_{t}[/mm] (t,s)=3u
Hier muss es doch heißen:
[mm]x_{t}(t,s,\blue{v})=x [/mm]
[mm]y_{t}(t,s,\blue{v})=2y[/mm]
[mm]z_{t}(t,s,\blue{v})=1[/mm]
[mm]u_{t}(t,s,\blue{v})=3u[/mm]
> mit
> x(0,s)=s (--> oder muss es hier x(0,0,s) heißen???)
> y(0,s)=s
> z(0,s)=0
> u(0,s)=g(s,s)
>
Analog hier:
[mm]x(0,s,\blue{v})=s[/mm]
[mm]y(0,s,\blue{v})=\blue{v}[/mm]
[mm]z(0,s,\blue{v})=0[/mm]
[mm]u(0,s,\blue{v})=g(s,v)[/mm]
> system gew. dgl
> [mm]x(t,s)=c1(s)e^t[/mm]
> y(t,s)=c2(s)e^2t
> z(t,s)=c3(s)+t
> u(t,s)=c4(s)e^3t
>
> muss anfangsbed. erfüllen
> s=x(0,s)=c1(s)
> s=y(0,s)=c2(s)
> 0=z(0,s)=c3(s)
> g(s,s)=u(0,s)=c4(s)
>
> [mm]-->x(t,s)=s*e^t[/mm]
> [mm]y(t,s)=s*e^t[/mm]
> z(t.s)=t
> [mm]u(t,s)=g(s,s)e^t[/mm]
>
> stimmt das alles soweit??
>
Gruss
MathePower
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okay, d.h. ich hab dann die lösungen, die die anfangsbedingenungen erfüllen müssen
s=x(0,s,v)=c1(s)
v=y(0,s,v)=c2(s)
0=z(0,s,v)=c3(s)
g(s,v)=u(0,s,v)=c4(s)
also ich hoff, das system der gew. dgl stimmt noch, obwohl jetzt alles noch von v abhängt?!
[mm] x(t,s,v)=se^t
[/mm]
[mm] y(t,s,v)=ve^t
[/mm]
z(t,s,v)=t
[mm] u(t,s,v)=g(s,v)e^t
[/mm]
aus I: [mm] s=x*e^{-t}
[/mm]
aus II [mm] v=y*e^{-t}
[/mm]
t=z
dann bekomm ich u(x,y,z)=g(xe^-z,ye^-z)e^-z
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Hallo Sabrinchen101,
> okay, d.h. ich hab dann die lösungen, die die
> anfangsbedingenungen erfüllen müssen
>
> s=x(0,s,v)=c1(s)
> v=y(0,s,v)=c2(s)
> 0=z(0,s,v)=c3(s)
> g(s,v)=u(0,s,v)=c4(s)
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> also ich hoff, das system der gew. dgl stimmt noch, obwohl
> jetzt alles noch von v abhängt?!
>
> [mm]x(t,s,v)=se^t[/mm]
> [mm]y(t,s,v)=ve^t[/mm]
> z(t,s,v)=t
> [mm]u(t,s,v)=g(s,v)e^t[/mm]
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Hier muss es doch lauten:
[mm]u(t,s,v)=g(s,v)e^{\blue{3}t}[/mm]
> aus I: [mm]s=x*e^{-t}[/mm]
> aus II [mm]v=y*e^{-t}[/mm]
> t=z
>
> dann bekomm ich u(x,y,z)=g(xe^-z,ye^-z)e^-z
Gruss
MathePower
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