reihe mit komplexer zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{n} [/mm]
[mm] i=\wurzel{-1}
[/mm]
konvergiert die reihe??? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe das mit dem wurzelkriterium betrachtet
wobei ich dann auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}i [/mm] komme.
die frage ist nun...ist i bzw. [mm] \wurzel{-1} [/mm] kleiner als 1?
eigentlich schon, aber ich bin mir da nicht so sicher
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Hallo chasekimi!
Du meinst hier doch eher folgendes, oder? [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\text{i}^{\ n}$
[/mm]
Ist denn die Folge [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] \text{i}^{ \ n}$ [/mm] eine Nullfolge und damit das notwendige Kriterium für Reihen-Konvergenz erfüllt?
Gruß vom
Roadrunner
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so gefragt würde ich sagen nein!
aber geht das nicht auch mit dem wurzelkriterium???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> so gefragt würde ich sagen nein!
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> aber geht das nicht auch mit dem wurzelkriterium???
Das Wurzelkriterium musst du aber auch richtig anwenden. Du musst
[mm]\wurzel[n]{|a_n|} = \wurzel[n]{|i^n|} = \wurzel[n]{|i|^n} = \wurzel[n]{1^n} = 1[/mm]
rechnen.
Was sagt das Wurzelkriterium in diesem Fall?
Es geht sogar noch einfacher: Schreibe dir die ersten paar Glieder der Reihe hin:
[mm]i^0 = 1, \quad i^1=i, \quad i^2=-1, \quad i^3=-i, \quad i^4 =1, \quad i^5=i, \quad i^6=-1, \quad i^7=-i, \quad i^8=1, \dots[/mm]
Was passiert, wenn du die aufsummierst?
Viele Grüße
Rainer
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bei q=1 hat das wurzelkriterium keinerlei aussage!
wenn ich nun die einzelnen teilfolgen $ [mm] i^0 [/mm] = 1, [mm] \quad i^1=i, \quad i^2=-1, \quad i^3=-i, \quad i^4 [/mm] =1, [mm] \quad i^5=i, \quad i^6=-1, \quad i^7=-i, \quad i^8=1, \dots [/mm] $ aufsummiere, dann kann einmal 1,i oder (1+i) rauskommen
also ist sie divergent, oder?!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> bei q=1 hat das wurzelkriterium keinerlei aussage!
>
> wenn ich nun die einzelnen teilfolgen [mm]i^0 = 1, \quad i^1=i, \quad i^2=-1, \quad i^3=-i, \quad i^4 =1, \quad i^5=i, \quad i^6=-1, \quad i^7=-i, \quad i^8=1, \dots[/mm]
> aufsummiere, dann kann einmal 1,i oder (1+i) rauskommen
Fast. Die Partialsummenfolge ist periodisch:
[mm] 1,\quad 1+i,\quad i,\quad 0, \quad 1,\quad 1+i,\quad i,\quad 0,\dots[/mm]
> also ist sie divergent, oder?!?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das siehst du schon daran, dass für alle n gilt: [mm]|a_n|=|i^n|=1[/mm].
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 18.09.2007 | | Autor: | chasekimi |
super...vielen dank!
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