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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mo 22.06.2009 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Betrachte [mm] \IR^{4} [/mm] mit der schiefsymmetrischen Bilinearform s gehörend zur Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0}. [/mm] Seien v1= [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -1 \\ 0}, v2=\vektor{1 \\ -4 \\ 1 \\ -1} [/mm] und [mm] v1^{\perp}= [/mm] {w [mm] \in \IR^{4} [/mm] : s(v1, w)=0}.
Bestimme die Dimension von [mm] v1^{\perp} [/mm] und [mm] v1^{\perp} \cap [/mm] Span{v1}. |
Hallo an alle Helferinnen und Helfer
Um die Dimension von [mm] v1^{\perp}= [/mm] {w [mm] \in \IR^{4} [/mm] : s(v1, w)=0} zu bestimmen, wollte ich mir erstmal angucken, welche Vektoren überhaupt in dieser Menge liegen, es sind doch alle für die gilt (v1 v2 v3 [mm] v4)*\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0}*\vektor{w1 \\ w2 \\ w3 \\ w4}= [/mm] 0, oder?
So, und wie komme ich jetzt an die Dimension ran?
Hilft die Signatur vielleicht irgendwie weiter? Ich meine, es muss ja dimV=4=(r+)+r(-)+r0 gelten.
Viele Grüße,
Anette.
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> Betrachte [mm]\IR^{4}[/mm] mit der schiefsymmetrischen Bilinearform
> s gehörend zur Matrix [mm]A:=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0}.[/mm]
> Seien v1= [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -1 \\ 0}, v2=\vektor{1 \\ -4 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> und [mm]v1^{\perp}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{w [mm]\in \IR^{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: s(v1, w)=0}.
> Bestimme die Dimension von [mm]v1^{\perp}[/mm] und [mm]v1^{\perp} \cap[/mm]
> Span{v1}.
> Hallo an alle Helferinnen und Helfer
>
> Um die Dimension von [mm]v1^{\perp}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{w [mm]\in \IR^{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: s(v1,
> w)=0} zu bestimmen, wollte ich mir erstmal angucken, welche
> Vektoren überhaupt in dieser Menge liegen, es sind doch
> alle für die gilt (v1 v2 v3 [mm]v4)*\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0}*\vektor{w1 \\ w2 \\ w3 \\ w4}=[/mm]
> 0, oder?
Hallo,
Du mußt gucken, für welche Vektoren w gilt [mm] 0=(v_1)^{t} [/mm] Aw, also das Gleichungssystem
[mm] (2\quad 3\quad -1\quad 0)*\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0}*\vektor{w1 \\ w2 \\ w3 \\ w4}=0 [/mm] lösen,
was ja auf die Bestimmung des Kerns von
[mm] (2\quad 3\quad-1\quad0)*\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0}=(1\quad 0\quad 2\quad [/mm] 3)
hinausläuft.
Welchen rang hat die Matrix? Welche Dimension hat also ihr Kern?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mo 22.06.2009 | | Autor: | anetteS |
Vielen Dank schon mal für deine schnelle Antwort, du hast mir nicht zum ersten Mal super geholen, danke schön.
Hat ( 1 0 2 3) nicht den Rang 1, also die dim(kern)=1?
Damit wäre doch auch die dim [mm] v1^{\perp}=1, [/mm] oder?
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> Vielen Dank schon mal für deine schnelle Antwort, du hast
> mir nicht zum ersten Mal super geholen, danke schön.
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> Hat ( 1 0 2 3) nicht den Rang 1,
Ja.
> also die dim(kern)=1?
Nein.
Wie war das mit kern, Bild/Rang?
es war so:
Für eine mxn_Matrix A gilt
n= dimBild A+ dimKernA=Rang A + dimKernA.
Also ist die Dimension des kerns hier =3.
Im Kern sind all diejenigen w, für welche gilt [mm] w_1+2w_3+3w_4=0
[/mm]
Du kannst [mm] w_4,w_3, w_2 [/mm] bliebig wählen
[mm] w_4=t
[/mm]
[mm] w_3=s
[/mm]
[mm] w_2=r
[/mm]
und dann ist
[mm] w_1=-2w_3-3w_4=-2s-3t,
[/mm]
also haben die Vektoren im Kern die Gestalt
[mm] w=\vektor{w_1\\w_2\\w_3\\w_4}=\vektor{-2s-3t\\r\\s\\t}=r\vektor{0\\1r\\0\\0}+s\vektor{-s-3t\\0\\1\\0}+t\vektor{-3\\0\\0\\1},
[/mm]
und hieraus kannst Du auch schon eine Bbasis ablesen, nämlcih die drei Vektoren.
Gruß v. Angela
> Damit wäre doch auch die dim [mm]v1^{\perp}=1,[/mm] oder?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 22.06.2009 | | Autor: | anetteS |
Oh ja, stimmt, danke schön!!!
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