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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 11.09.2005 | | Autor: | hooover |
Hallo ich stehe irgendwie auf dem bekannten Schlauch und komme noch nicht einmal zu nen akzeptablen Ansatz. Bitte helft mir!!!
Die Aufgabe:
Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks ABC
A(1/2); B(4/7); C(-2/9)
mein Ansatz ist folgender:
[mm] \overline{AS}- \overline{BS}- \overline{AB}= \overline{0}
[/mm]
[mm] \overline{AS}=n \overline{AM_{1}}=n( \overline{AB}+0,5( \overline{AC}- \overline{AB}))
[/mm]
[mm] \overline{BS}=m\overline{BM_{2}}=m(0,5(\overline{AC}-\overline{AB})
[/mm]
so weiter komme ich aber nicht.
Schon mal vielen Dank
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Hi, hooover,
> Hallo ich stehe irgendwie auf dem bekannten Schlauch und
> komme noch nicht einmal zu nen akzeptablen Ansatz. Bitte
> helft mir!!!
>
> Die Aufgabe:
>
> Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks ABC
>
> A(1/2); B(4/7); C(-2/9)
>
> mein Ansatz ist folgender:
>
> [mm]\overline{AS}- \overline{BS}- \overline{AB}= \overline{0}[/mm]
>
> [mm]\overline{AS}=n \overline{AM_{1}}=n( \overline{AB}+0,5( \overline{AC}- \overline{AB}))[/mm]
>
> [mm]\overline{BS}=m\overline{BM_{2}}=m(0,5(\overline{AC}-\overline{AB})[/mm]
>
Du solltes aber mit Vektorpfeilen arbeiten, nicht mit Strecken; es kommt nämlich bei der Rechnung auch auf Richtungen an!
Bei [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] ist Dir wohl eine Klammer verrutscht! Es muss heißen:
[mm] \overrightarrow{BS} [/mm] = [mm] m*(0,5*\overrightarrow{AC} [/mm] - [mm] \overrightarrow{AB})
[/mm]
Nun Setze alles in Deine Ausgangskette ein:
[mm] n(\overrightarrow{AB}+0,5*(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})) [/mm] - [mm] m*(0,5*\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}) [/mm] - [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Ausmultiplizieren und die linear unabhängigen Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ausklammern:
(0,5n +m - [mm] 1)*\overrightarrow{AB} [/mm] + (0,5n - [mm] 0,5m)*\overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Weil nun die beiden Vektoren linear unabhängig sind, müssen laut Definition BEIDE KLAMMERN gleich 0 sein:
I. 0,5n +m - 1 = 0
II. 0,5n - 0,5m = 0
Daraus errechnet man m = n = [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Und wenn ich mich nicht verrechnet habe,
hat der Schwerpunkt die Koordinaten S(1 / 6).
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 11.09.2005 | | Autor: | hooover |
Hallo Zwerglein
> I. 0,5n +m - 1 = 0
> II. 0,5n - 0,5m = 0
>
> Daraus errechnet man m = n = [mm]\bruch{2}{3}.[/mm]
>
> Und wenn ich mich nicht verrechnet habe,
> hat der Schwerpunkt die Koordinaten S(1 / 6).
>
> mfG!
> Zwerglein
>
wie komme ich denn von n= [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
auf S(1 / 6).
schon mal danke
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Hi, hooover,
Zuvor: Ich hab' Deinen "Anfang" sozusagen zu Ende geführt, auch wenn man so eigentlich nicht vorgeht, wenn "nur" die Schwerpunktkoordinaten berechnet werden sollen! Hier würde man das "Wissen", dass der Scherpunkt jede Schwerlinie (Seitenhalbierende) im Verhältnis 2:1 teilt, voraussetzen. Genau dieses Teilverhältnis haben wir nun bewiesen!
Nun zu Deiner Frage:
Du kannst z.B. den Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] des Punktes S folgendermaßen bestimmen (ausführliche Rechnung!):
[mm] \overrightarrow{OS} [/mm]
= [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*\overrightarrow{BM_{2}}
[/mm]
= [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*(0,5*\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
[/mm]
= [mm] \vektor{4 \\ 7} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*(0,5*\vektor{-3 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 5})
[/mm]
= [mm] \vektor{4 \\ 7} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*(\vektor{-1,5 \\ 3,5} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 5})
[/mm]
= [mm] \vektor{4 \\ 7} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*\vektor{-4,5 \\ -1,5} [/mm]
= [mm] \vektor{4 \\ 7} [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ -1} [/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ 6} [/mm]
Also: S(1 / 6)
Ach ja: "Formel" für die Berechnung des Schwerpunkts eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C:
[mm] \overrightarrow{OS} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).
[/mm]
(Probier' die Formel mal an Deiner Aufgabe aus!)
mfG!
Zwerglein
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Mit den Seitenhalbierenden kann man auch den Schwerpunkt eines Dreiecks bestimmen, wollte ich nur mal gesagt haben.
Ansatz:
Die Mitte der Strecke AB bestimmen:
( [mm] \bruch{1}{2}(AX|BX) [/mm] | [mm] \bruch{1}{2}(AY|BY) [/mm] )
Mit Hilfe dieses Punktes und dem Punkt C die Geradengleichung bestimmen. Das gleiche mit einer weiteren Seitenhalbierenden machen und den Schnittpunkt errechnen.
Gruß Patrick
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