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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 05.12.2006 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | Sie f: [mm] \IR \to \IR [/mm] erklärt durch [mm] x\mapsto \begin{cases} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \not={0} \\ 0, & \mbox{für } x ={ 0} \end{cases}
[/mm]
zeige: für alle y [mm] \in [/mm] [-1,+1] gibt es eine folge [mm] (x_n) n\in \IN [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0 [/mm] und [mm] f(x_n)=y. [/mm] wo ist f stetig?? |
ist mit der folge diese gemeint: [mm] \wurzel \bruch{2}{[2n+1)\pi}?
[/mm]
und [mm] sin\bruch{1}{x} [/mm] ist bei 0 unstetig,oder?
aber wie ich das alles zeige weiß ich nicht.
schon mal vielen dank für die hilfe 
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> Sie f: [mm]\IR \to \IR[/mm] erklärt durch [mm]x\mapsto \begin{cases} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \not={0} \\ 0, & \mbox{für } x ={ 0} \end{cases}[/mm]
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> zeige: für alle y [mm]\in[/mm] [-1,+1] gibt es eine folge [mm](x_n) n\in \IN[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0[/mm] und [mm]f(x_n)=y.[/mm] wo ist
> f stetig??
> ist mit der folge diese gemeint: [mm]\wurzel \bruch{2}{[2n+1)\pi}?[/mm]
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> und [mm]sin\bruch{1}{x}[/mm] ist bei 0 unstetig,oder?
Hallo,
zunächst einmal kannst Du Dir überlegen, daß die Funktion auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] stetig ist.
Nun bleibt noch x=0 übrig zum Überlegen.
Stetig im Punkt x=0, das bedeutet ja, daß für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen 0 konvergiert, [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(0) konvergiert.
In der Aufgabe wirst Du darauf gestoßen, daß das für den Punkt 0 nicht der Fall ist.
Guck' Dir für jedes y aus dem Intervall [-1,1] die Folgen [mm] (x^{(y)}_n) [/mm] an mit [mm] x^{(y)}_n=\bruch{1}{arcsiny +2\pi n}. [/mm]
Der Grenzwert dieser Folgen?
Der Grenzwert von [mm] f(x^{(y)}_n)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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