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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Fr 04.02.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Ich übe und übe und übe ständig diese nervigen Induktionsbeweise, doch mir fällt es immer noch sehr schwer, den leichten Weg zur Lösung zu sehen. Meistens liegt das Problem ja nur an einer Umformung. Zur Aufgabe:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}\vektor{n\\k}=\bruch{1}{n+1}.
[/mm]
Zum Induktionsschritt: Mit ein paar Umformungen zwischen durch kommt man auf die Gleichung:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\bruch{(-1)^k*(n+2)}{k+1}\vektor{n+1\\k}=1
[/mm]
Wahrscheinlich wäre es jetzt ganz einfach auf eine Lösung zu kommen, wenn ich nur die 1 auf der rechten Seite ein wenig anders schreiben würde. Aber genau dort liegt mein Problem. Ich seh nicht, wie ich sie umschreiben muss, damit die Lösung dann nur noch eine Umformungssache ist. Kann mir bitte jemand helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Also, in deiner Umformung hast du ja nur mit $n+2$ multipliziert.
Ich würde eher
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1} \frac{(-1)^{k}}{k+1}{n+1 \choose k} =\frac{1}{n+2}$
[/mm]
in
[mm] $\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}{n+1 \choose k} [/mm] + [mm] \frac{(-1)^{n+1}}{n+2} =\frac{1}{n+2}$
[/mm]
zerlegen. Jetzt musst du nur noch die Summe so umformen, dass du die Annahme benutzen kannst, d.h. du müsste den Binomialkoeffizienten umschreiben. Ich hoffe mal das dabei das $k$ wegfällt, weil es sonst zu Problemen kommen könnte.
Ich überlege halt, ob man
${ n+1 [mm] \choose [/mm] k} = { n [mm] \choose [/mm] k}+{ n [mm] \choose [/mm] k+1}$
benutzen kann, um auf die Induktionsannahme zu kommen. Teste mal 
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