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Dietlind Bäro Daniel Metzsch	www.matheraum.de Mathe für's ABI 2008 Aufgabenblatt 6 Abgabe: Mo 14.01.2008 08:00	17.12.2007
Aufgabe 1
Dem menschlichen Körper können Medikamente durch einen Tropf kontinuierlich zugeführt werden. Zu Beginn weist der Körper keine Medikamentenmenge auf, nach In-Gang-Setzen des Tropfes erhöht sich die Medikamentenmenge mit jedem Tropfen, aber zugleich beginnen Nieren und Leber die Substanz wieder auszuscheiden. Die Funktion m: $t \to m(t)$ , t in Minuten, m in Milligramm gemessen, gebe die Medikamentenmenge im Körper an. a. Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion m für oben beschriebenen Wachstumsprozess. b. Für ein bestimmtes Medikament gelte $m'(t) = e^{-0,02 t}$ . Bestimmen Sie m(t) unter der Voraussetzung, dass der Tropf zur Zeit t = 0 gestartet wird. Es gilt fortan: $m(t) = 50 (1 - e^{-0,02 t})$ . c. Zeichnen Sie die Graphen von m und m für einen sinnvollen Zeitraum und interpretieren Sie deren Verlauf bezüglich der Medikamentenzufuhr. d. Erläutern Sie, dass $\limes_{t\to\infty}{m(t)}=50$ gilt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Medikamentenmenge 90% dieses Grenzwertes erreicht und den, von dem ab der Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute beträgt. e. Berechnen Sie $\integral_{0}^{10}{e^{-0,02t}\ dt}$ . Erläutern Sie die Bedeutung dieser Zahl. f. Nach 5 Stunden wird der Tropf abgesetzt. Der Abbau des Medikaments erfolgt danach mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, von dem ab die Nachweisgrenze des Medikaments von 1 μg $(10^{-3}$ mg) im Körper unterschritten wird.