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Dipl. math. Felix Fontein Dipl. math. Dieter Osterholz	www.matheraum.de Algebra-Training 2006 Aufgabenblatt 5 Abgabe: Fr 13.10.2006 12:00	06.10.2006
In diesen Aufgaben geht es darum, denn bisher gelernten Stoff zu wiederholen und 'praktisch' anzuwenden.
Aufgabe 18
Für eine endliche Gruppe G sei p der kleinste Primteiler der Gruppenordnung und H eine Untergruppe vom Index p. Zeige: H ist Normalteiler in G. (aus Lang, Algebra)
Aufgabe 19
Konstruiere alle Gruppen der Ordung $\le$ 5.
Aufgabe 20
Konstruiere mind. eine und höchstens zwei nicht-kommutative Gruppen der Ordnung 8.
Aufgabe 21
Die ist (abstrakt) die Gruppe der Permutationen von 4 Elementen oder auch der bijektiven Abbildungen einer 4elementigen Menge auf sich. Konkret werden als Elemente meistens die Zahlen von 1 bis 4 genommen. Die Schreibweise für eine Permutation $\pi$ ist dann z. B. $\pi$ = $\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \pi(4) }$ Man beachte: Permutationen sind Abbildungen, die Verknüpfung wird dann nach heute üblicher Konvention von rechts nach links gelesen, also $\pi_{1}\cdot{}\pi_{2}$ bedeutet 'erst $\pi_{2},$ dann $\pi_{1}$ '. Man bestimme die Untergruppen, die Normalteiler und das Zentrum.