www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Hesse Matrix
Hesse Matrix < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hesse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Di 26.01.2016
Autor: Mathics

Aufgabe
Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?

Sei f(x,y) eine stetige Funktion. Wenn die zweite Ableitungen von f stetige Funktionen sind, dann ist die Hesse Matrix symmetrisch.

Hallo,

die Lösung ist, dass diese Aussage wahr ist.

Aber wieso? Was hat denn die Stetigkeit der zweiten Ableitungen von f mit der Symmetrie der Hesse Matrix zu tun?


LG

Mathics

        
Bezug
Hesse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 26.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ihr hattet sicher den []Satz von Schwarz.
Nun schau dir mal dessen Aussage an und dann die Definition der Hesse-Matrix.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Hesse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Di 26.01.2016
Autor: Mathics

Den hatten wir leider nicht im Detail. Wir haben uns einfach gemerkt, dass in der Hesse-Matrix fxy = fyx.

Dies ist anscheinend auf den Satz von Schwarz zurückzuführen, wie ich auch dem Wikipedia Artikel entnehmen kann. Aber wieso sagt der auch aus, dass die Hesse Matrix symmetrisch ist. Der Beweis bei Wikipedia war mir nicht ganz klar. Kann man das auch ganz simpel ausdrücken?

Und zu dem Gegenbeispiel im Wikipedia Artikel:

Woran erkenne ich genau, dass eine Funktion nicht stetig ist?

Ich habe mir das bis jetzt immer gemerkt, dass wenn z.B.

y =2 für 0 [mm] \le [/mm] x < 5
y=10-x für x [mm] \ge [/mm] 5

schreibt, ist es nicht stetig.

Kann man die Unstetigkeit auch anders erkennen, wenn es halt nicht so klar ersichtlich wie in meinem Beispiel ist?

LG
Mathics

Bezug
                        
Bezug
Hesse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Di 26.01.2016
Autor: fred97

Ist D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] zweimal stetig differenzierbar auf D, so sagt der Satz von Schwarz:

(*) [mm] f_{xy}=f_{yx} [/mm]  auf D.

Die Hessematrix ist

[mm] \pmat{f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} } [/mm]

Aus (*) folgt die Symmetrie dieser Matrix.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Hesse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Di 26.01.2016
Autor: Mathics

Okey, das merk ich mir dann so.

Kurz noch eine Frage:

Bei der Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ohne Nebenbedingungen. Ist die stetig? Weil in x=0 ist sie ja nicht definiert, deshalb würde ich sagen nein.
Wie kann man unstetige Funktionen auch ohne die abschnittsweise Schreibform erkennen?


LG
Mathics

Bezug
                                        
Bezug
Hesse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 26.01.2016
Autor: DieAcht

Hallo Mathics!


Eine Funktion

      [mm] f\colon D\subseteq\IR\to\IR [/mm]

heißt stetig (auf [mm] $D\$), [/mm] wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs (also [mm] $D\$) [/mm] stetig ist.

Wir setzen

     [mm] $f(x):=\frac{1}{x}\$. [/mm]

Für [mm] $x\not=0\$ [/mm] ist [mm] $f\$ [/mm] stetig.
Für [mm] $x=0\$ [/mm] ist [mm] $f\$ [/mm] nicht definiert.

Damit ist [mm] $f\$ [/mm] an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig.
Also ist [mm] $f\$ [/mm] stetig.


(Die Funktion [mm] $f\$ [/mm] ist in Null weder stetig noch unstetig, denn sie ist dort nicht definiert.
Siehe Heuser; Stichwort: "Zerrissenheit".)


Gruß
DieAcht

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]