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Nichtlineares LGS Newton: Gleichungssystem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Do 17.03.2022
Autor: Nash33

Aufgabe
Guten Abend ,
habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe:
Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem

min[mm] g(x) = \wurzel{x^2+1} + 5 [/mm]
Welches nichtlineare Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?  Überprüfen Sie,
ob es sich um ein Minimum handelt.
Gleichungssystem für Newton-Verfahren?

Ansatz :

[mm] g`(x) = x*(x^2 + 1)^{-1/2} [/mm]

[mm] g``(x) =\bruch{1}{\wurzel{x^2+1} } -\bruch{x^2}{(x^2+1)^{3/2}[/mm]


Wisst ihr wie ich hier genau weiter vorgehen muss?
Was wollen die bei der a) noch von mir?


b)Berechnen Sie einen Schritt des Newtonverfahrens, d.h. x^(1), ausgehend vom Startpunkt
x^(0) = 0.5, um eine Näherung für die Lösung von G(x) = 0 zu bestimmen

Habe nicht gestellt

        
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:25 Fr 18.03.2022
Autor: statler

Guten Morgen!

>  Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem
>
> min[mm] g(x) = \wurzel{x^2+1} + 5[/mm]
>  Welches nichtlineare
> Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?
>  Überprüfen Sie,
>  ob es sich um ein Minimum handelt.
>  Gleichungssystem für Newton-Verfahren?
>  
> Ansatz :
>  
> [mm]g'(x) = x*(x^2 + 1)^{-1/2}[/mm]
>  
> [mm]g''(x) =\bruch{1}{\wurzel{x^2+1} } -\bruch{x^2}{(x^2+1)^{3/2}[/mm]

Anderer Ansatz:
g(x) ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert, überall differenzierbar, auf [mm] $(-\infty [/mm] , 0)$ streng monoton fallend, auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] streng monoton steigend und achsensymmetrisch zur y-Achse. Also hat sie bei x = 0 ein (absolutes und lokales) Minimum. Also muß keine Gleichung und schon gar kein Gleichungssystem gelöst werden.

>  
>
> Wisst ihr wie ich hier genau weiter vorgehen muss?
>  Was wollen die bei der a) noch von mir?
>  
>
> b)Berechnen Sie einen Schritt des Newtonverfahrens, d.h.
> x^(1), ausgehend vom Startpunkt
>  x^(0) = 0.5, um eine Näherung für die Lösung von G(x)
> = 0 zu bestimmen

Aufgabenteil b) wäre hier wegen a) oder auch wegen des 'Nullproduktsatzes' reine Beschäftigungstherapie. Aber wie Newton geht, weißt du ja inzwischen :)

Gruß aus HH
Dieter


Bezug
        
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Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Fr 18.03.2022
Autor: fred97

Noch ein Ansatz:

Ich denke, man kann sehen, dass für die Funktion $ g(x) = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] + 5 $ gilt:

$g(x) [mm] \ge [/mm] 6$ für alle reellen $x$, denn [mm] $x^2 [/mm] +1 [mm] \ge [/mm] 1.$

Weiter ist $g(0)=6.$

Somit hat $g$ in $x=0$ ihr absolutes Minimum.

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Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Fr 18.03.2022
Autor: Nash33

Weil 6 >0 ist daher Minimum oder ?

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Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Fr 18.03.2022
Autor: leduart

Hallo
die Frage ist unverständlich, dass g bei x=0 ein min hat hat nichts mit 6>0 zu tun, wäre [mm] g(x)=\sqrt(x^2+1)-5 [/mm] damit g(0)=-4<0 wäre das Min noch immer bei x=0

Bezug
                                
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 So 20.03.2022
Autor: Nash33

bei der b) so vorgehen?

[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - (F(0))/(F`(0)) = 0- 6/1 = 6

[mm] x_2 [/mm] = 6 - F(6)/F`(6) = ....

So vorgehen?

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Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 So 20.03.2022
Autor: statler


> bei der b) so vorgehen?
>  
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_0[/mm] - (F(0))/(F'(0)) = 0- 6/1 = 6
>  
> [mm]x_2[/mm] = 6 - F(6)/F'(6) = ....
>  
> So vorgehen?

Nee! Gesucht ist eine Nullstelle von g'. Also so: [mm] $x_{1} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] - [mm] \frac{g'(x_{0})}{g''(x_{0})} [/mm] = ...$,
und die Vorgabe war [mm] $x_{0} [/mm] = 0,5$.

Damit bist du fertig, weil nur eine Iteration gefordert war.


Bezug
                                                
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 So 20.03.2022
Autor: Nash33

Woher weisst du das eine Näherung von g` gesucht ist ?
Mir ist das nicht so klar

Bezug
                                                        
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:23 Mo 21.03.2022
Autor: fred97

geht es denn nicht um die Gleichung $g'=0$ ?

Bezug
                                                                
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Mo 21.03.2022
Autor: Nash33

Die Aufgabe ist so wie geschrieben ? :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Mo 21.03.2022
Autor: fred97


> Die Aufgabe ist so wie geschrieben ? :)

Für die Minimierung von g, soll also die Gleichung $g'=0$ gelöst werden.


Bezug
        
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Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Mo 21.03.2022
Autor: HJKweseleit

g(x) = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] + 5

Wenn es sich hier um das Einüben von Analysis und Newton-Verfahren handelt - ok, dann blasen wir das Ganze entsprechend auf.

Ansonsten: 5 speilt keine Rolle. Eine Wurzel hat den kleinsten Wert, wenn der Radikand den kleinsten Wert hat, aber nicht negativ ist. [mm] x^2 [/mm] ist immer positiv oder Null, also bei 0 am kleinsten, die 1 spielt auch keine Rolle mehr. Also liegt bei x=0 ein Minimum vor. Stoff der Klasse 9 oder so.

Bezug
        
Bezug
Nichtlineares LGS Newton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Di 22.03.2022
Autor: meili

Hallo Nash33,

> Guten Abend ,
>  habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe:
>  Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem
>
> min[mm] g(x) = \wurzel{x^2+1} + 5[/mm]
>  Welches nichtlineare
> Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?
>  Überprüfen Sie,
>  ob es sich um ein Minimum handelt.
>  Gleichungssystem für Newton-Verfahren?
>  
> Ansatz :
>  
> [mm]g'(x) = x*(x^2 + 1)^{-1/2}[/mm]
>  
> [mm]g''(x) =\bruch{1}{\wurzel{x^2+1} } -\bruch{x^2}{(x^2+1)^{3/2}[/mm]
>  
>
> Wisst ihr wie ich hier genau weiter vorgehen muss?
>  Was wollen die bei der a) noch von mir?

Leider hast du nicht geschrieben was a) ist.
Aber ich nehme an es ist " Welches nichtlineare  Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?"
Dafür hast du in deinem Ansatz richtig die erste und zweite Ableitung von g
hingeschrieben, aber für ein Gleichungssystem fehlt noch:
g'(x) = 0
g''(x) > 0

Dann wird auch klar, dass das Nwetonverfahren auf g'(x) = 0 angewendet werden soll.

>  
>
> b)Berechnen Sie einen Schritt des Newtonverfahrens, d.h.
> x^(1), ausgehend vom Startpunkt
>  x^(0) = 0.5, um eine Näherung für die Lösung von G(x)
> = 0 zu bestimmen
>  Habe nicht gestellt

Gruß
meili

Bezug
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