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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Partielle Ableitung
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Partielle Ableitung: Drüberschauen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 23.10.2017
Autor: maba1984

Aufgabe
Bestimmen Sie für f(x,y) = [mm] e^{x^{2} * y} [/mm] alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen, d.h.:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y) [/mm]

Hallo, ich bin mir nicht sicher ob meine Lösung richtig ist, könnte da mal jemand drüberschauen? Vielen Dank.

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] e^{x^{2}*y} [/mm] * 2xy
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] e^{x^{2}*y} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y) [/mm] = [mm] (e^{x^{2}*y} [/mm] * 2xy) + (2xy * 2xy * [mm] e^{x^{2}*y}) [/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(x,y) [/mm] = (2x * [mm] e^{x^{2}*y}) [/mm] + (2xy * [mm] x^{2} [/mm] * [mm] e^{x^{2}*y}) [/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x,y) [/mm] = (2x * [mm] e^{x^{2}*y}) +(x^{2} [/mm] * 2xy * [mm] e^{x^{2}*y}) [/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y) [/mm] = (2x * [mm] e^{x^{2}*y}) [/mm] + [mm] (x^{2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] * [mm] e^{x^{2}*y}) [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mo 23.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie für f(x,y) = [mm]e^{x^{2} * y}[/mm] alle ersten und
> zweiten partiellen Ableitungen, d.h.:

>

> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x,y), \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)[/mm]

>

> Hallo, ich bin mir nicht sicher ob meine Lösung richtig
> ist, könnte da mal jemand drüberschauen? Vielen Dank.

>

> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] = [mm]e^{x^{2}*y}[/mm] * 2xy
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] = [mm]e^{x^{2}*y}[/mm] * [mm]x^{2}[/mm]

Bis hierher stimmt es.

> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)[/mm] = [mm](e^{x^{2}*y}[/mm]
> * 2xy) + (2xy * 2xy * [mm]e^{x^{2}*y})[/mm]

Das ist noch nicht ganz richtig. Überprüfe mal den ersten Summanden, da ist ein x zuviel.

> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(x,y)[/mm] = (2x *
> [mm]e^{x^{2}*y})[/mm] + (2xy * [mm]x^{2}[/mm] * [mm]e^{x^{2}*y})[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x,y)[/mm] = (2x *
> [mm]e^{x^{2}*y}) +(x^{2}[/mm] * 2xy * [mm]e^{x^{2}*y})[/mm]

Diese beiden sind richtig (hat es dich nicht gewindert, dass sie gleich sind und weißt du, weshalb das so ist?)

> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)[/mm] = (2x *
> [mm]e^{x^{2}*y})[/mm] + [mm](x^{2}[/mm] * [mm]x^{2}[/mm] * [mm]e^{x^{2}*y})[/mm]

>

Hier ist dir wieder ein Fehler unterlaufen. Siehe dazu die Antwort von FRED.

Du würdest uns aber insbesondere auch dir einiges erleichtern, wenn du erhaltene Rechenausdrücke nicht einfach so stehen ließest sondern dort wo es möglich ist, vereinfachst was geht. Für uns wird das dann lesbarer und für dich übersichtlicher.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mo 23.10.2017
Autor: fred97

In einem Punkt muss ich Diophant widersprechen.  Die letzte Ableitung ist nicht richtig.

Leitet man nach y ab,  so ist x als Konstante zu betrachten.

Damit ergibt sich

    [mm] x^4e^{x^2y} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Mo 23.10.2017
Autor: Diophant

Hallo Fred,

ja, da ist mir ein Fehler unterlaufen. Danke für ie Korrektur.

Gruß, Diophant

Bezug
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