www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Pendel ohne Reibung
Pendel ohne Reibung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Pendel ohne Reibung: "relative equilibria"
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:35 Mi 14.12.2016
Autor: mikexx

Aufgabe
Hat das Pendel ohne Reibung, also die Gleichung
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\sin\varphi(t)$, $\varphi\in [0,2\pi)$ [/mm] (P)

sogenannte relative Equilibria?



Hallo und guten Abend, zunächstmal ist zu bemerken, dass ich so normiert habe, dass in der Gleichung für das reibungslose Pendel, also
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\frac{g}{\ell}\sin\varphi(t)$, [/mm] der konstante Faktor 1 ist.

Dann zur eigentlichen Frage:

Meines Wissens ist ein relatives Equilibrium in einem Hamiltonsystem mit Symmetriegruppen ein Orbit der Symmetrygruppe, der sich unter der Dynamik nicht verändert: []Relative Equilibrium

Beim Pendel ohne Reibung gibt es doch zwei Symmetriegruppen:

(1) [mm] $\varphi\mapsto 2\pi k\varphi, k\in\mathbb{Z}$ [/mm]

(2) [mm] $\varphi\mapsto -\varphi$ [/mm]


Wenn man sich die Orbits von (1) und (2) anschaut, die sich unter der Dynamik nicht verändern, bleiben doch eigentlich nur die beiden Orbits

[mm] $\mathcal{O}_1=\left\{(0+2\pi*k,0): k\in\mathbb{Z}\right\}$ [/mm]

sowie

[mm] $\mathcal{O}_2=\left\{(\pi+2\pi k,0): k\in\mathbb{Z}\right\}$ [/mm]

übrig, oder?


Dementsprechend würde ich mal behaupten, dass [mm] $\mathcal{O}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] die einzigen relativen Equilibria des zu (P) gehörigen 2D-Systems sind?


MfG



        
Bezug
Pendel ohne Reibung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Fr 16.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]