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Forum "VK 58: Algebra 1" - Übungsserie 2, Aufgabe 2
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Übungsserie 2, Aufgabe 2: Aufgabe 2
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:10 So 11.03.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
II-2: a) Beweisen Sie: ein Gruppenhomomorphismus [mm] \phi [/mm] ist genau dann injektiv, wenn Kern [mm] \phi [/mm] = [mm] {e_{G}}. [/mm]
b) Begründen Sie, dass [mm] (\IZ [/mm] , +) isomorph ist zu [mm] (n\IZ [/mm] , +) für alle natürlichen Zahlen n.

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 2: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 21:16 So 11.03.2012
Autor: diddy449

(a)
[mm] $"\Rightarrow"$ [/mm]
Sei [mm] $\phi: G\to [/mm] H $ injektiv, dann muss, da [mm] $\phi(e_G)=e_H$ [/mm] ist, auch [mm] $ker\phi [/mm] = [mm] \{e_G\}$ [/mm] sein. (also [mm] $\subseteq [/mm] $ gilt immer für Homomorphismen und [mm] $\supseteq$ [/mm] gilt aufgrund der Injektivität)

[mm] $"\Leftarrow"$ [/mm]
Sei [mm] $ker\phi [/mm] = [mm] \{e_G\}$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\forall a,b\in\G: \phi(a) [/mm] = [mm] \phi(b) \gdw e_H [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b)^{-1} [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a*b^{-1}) \gdw e_G [/mm] = [mm] a*b^{-1} \gdw [/mm] a = b$
Damit ist [mm] \phi [/mm] injektiv.

(b) Betrachte die Abbildung [mm] $\phi:\IZ\to n\IZ$ [/mm] mit [mm] $\phi(z)=n*z$, [/mm] diese ist ein Gruppenhomomorphismus. Weiter ist dieser Homomorphismus injektiv (da [mm] $ker\phi=\{0\}$) [/mm] und außerdem surjektiv nach Konsturktion von [mm] n\IZ. [/mm]
Insgesamt also ein Isomorphismus und damit [mm] $\IZ\cong n\IZ$. [/mm]

Bezug
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