Klassenzahl Q(sqrt(10)) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 04.06.2008 | | Autor: | bksstock |
Hallo!
Für heute eine letzte Frage zur Zahlentheorie von mir:
Es wird behauptet, dass der algebraische Zahlkörper [mm] \IQ (\wurzel{10} [/mm] ) die Klassenzahl 2 hat.
Da die Diskriminante des Zahlkörpers den Betrag 40 hat, sagt mir die Minkowski-Schranke, dass ich bei der Betrachtung der Klassengruppe nur Ideale der Norm <=3 betrachten muss, oder? Davon müsste es dann genau zwei geben. Welches sind denn die Ideale mit dieser Eigenschaft und wie zeige ich das diese die einzigen mit der Norm <=3 sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Do 05.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Für heute eine letzte Frage zur Zahlentheorie von mir:
> Es wird behauptet, dass der algebraische Zahlkörper [mm]\IQ (\wurzel{10}[/mm]
> ) die Klassenzahl 2 hat.
>
> Da die Diskriminante des Zahlkörpers den Betrag 40 hat,
> sagt mir die Minkowski-Schranke, dass ich bei der
> Betrachtung der Klassengruppe nur Ideale der Norm <=3
> betrachten muss, oder?
Ob es genau [mm] $\le [/mm] 3$ ist weiss ich grad nicht. Allerdings: es reicht voellig aus, alle Primideale mit Norm [mm] $\le [/mm] 3$ anzuschauen und nicht alle Ideale, da alle Ideale Produkte von Primidealen sind und die Norm multiplikativ ist.
> Davon müsste es dann genau zwei geben.
Woher weisst du das?
> Welches sind denn die Ideale mit dieser Eigenschaft
> und wie zeige ich das diese die einzigen mit der Norm <=3
> sind?
Sei [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] der Ganzheitsring in [mm] $\IQ(\sqrt{10})$ [/mm] und [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] ein Primideal (ungleich Null, natuerlich!) in [mm] $\mathcal{O}$. [/mm] Dann ist [mm] $\mathfrak{p} \cap \IZ [/mm] = (p)$ fuer eine Primzahl $p$.
Weiterhin hat man die Inklusion [mm] $\IZ [/mm] / (p) [mm] \subseteq \mathcal{O} [/mm] / [mm] \mathfrak{p}$. [/mm] Deshalb ist [mm] $N(\mathfrak{p}) \ge [/mm] p$.
Die einzigen Ideale, die also in Frage kommen, sind die Primideale von [mm] $\mathcal{O}$, [/mm] die ueber 2 und 3 liegen. Du musst also schauen, wie 2 und 3 in [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] aufspalten. (Das hattet ihr sicher schon in der VL!) Dies liefert dir dann die Primideale, die ueber 2 bzw. 3 liegen, und sagt dir auch welche Norm sie haben:
- Gibt es ueber $p$ zwei verschiedene Primideale in [mm] $\mathcal{O}$, [/mm] so haben beide Norm $p$.
- Gibt es ueber $p$ ein verzweigtes Primideal in [mm] $\mathcal{O}$, [/mm] so hat dieses Ideal ebenfalls Norm $p$.
- Gibt es ueber $p$ ein traeges Primideal, sprich $(p)$ ist prim in [mm] $\mathcal{O}$, [/mm] so ist die Norm davon gerade [mm] $p^2$.
[/mm]
LG Felix
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