Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Sa 13.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Hallo liebes Vorhilfe-Team.
Letzte Woche wurden die Folgen eingeführt und ich habe noch so meine Probleme damit.
Wir sollen den Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] := [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] bestimmen.
Meine "Lösung", oder besser Ansatz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}
[/mm]
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Da der Exponent gegen 0 läuft konvergiert die Folge gegen 1.
Meine Intuition sagt mir, dass das so nicht ausreiche bzw. stimmt.
Meistens lag diese Richtig 
Ich bitte um Rat und bedanke mich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 13.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Achso.
Dann ist also [mm] \wurzel[n+1]{n+1} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] für n > 3
Da n ja riesen groß ist geht das klar.
Dann geht das immer weiter?
[mm] \wurzel[n]{n} [/mm] < [mm] \wurzel[n-1]{n-1} [/mm] usw bis [mm] \wurzel[1]{1} [/mm] ?
Also muss ich jetzt noch zeigen, dass [mm] \wurzel[n+1]{n+1} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] für alle n gilt?
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Hallo,
bist Du noch an der Aufgabe dran?
> Achso.
> Dann ist also [mm]\wurzel[n+1]{n+1}[/mm] < [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] für n>3
Nein, sondern für [mm] n\blue{\ge}3
[/mm]
Und genau das sollst Du erst noch zeigen. Es genügt doch nicht, dass ich das einfach sage.
> Da n ja riesen groß ist geht das klar.
> Dann geht das immer weiter?
Wie? Versteh ich nicht.
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] < [mm]\wurzel[n-1]{n-1}[/mm] usw bis [mm]\wurzel[1]{1}[/mm] ?
Nein, eben nicht. Steht doch oben.
> Also muss ich jetzt noch zeigen, dass [mm]\wurzel[n+1]{n+1}[/mm] <
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] für alle n gilt?
Jaaaaa. Für alle [mm] n\ge{3}
[/mm]
Mach doch mal. Oder nimm Freds geschickten Weg, der spart viel Arbeit.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 13.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Das war wohl ganz falsch^^
Bin jetzt soweit, dass ich sagen kann n > [mm] \wurzel[n]{n}
[/mm]
Kann ich dann nicht sagen:
[mm] \wurzel[n]{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n < [mm] \varepsilon^n
[/mm]
Also: [mm] \varepsilon^n [/mm] > n > [mm] \wurzel[n]{n}
[/mm]
Blick da leider nicht durch :(
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Hallo nochmal,
> Bin jetzt soweit, dass ich sagen kann n > [mm]\wurzel[n]{n}[/mm]
Ja, das kann man sagen. Was hilft es aber für diese Aufgabe?
> Kann ich dann nicht sagen:
>
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] n < [mm]\varepsilon^n[/mm]
>
> Also: [mm]\varepsilon^n[/mm] > n > [mm]\wurzel[n]{n}[/mm]
Ja, das kann man auch sagen. Aber auch hier: wozu?
> Blick da leider nicht durch :(
Du hast doch ein Ziel und weißt, was Du insgesamt zeigen willst. Den Weg dahin musst Du aber allein gehen. Du hast zwei mögliche erste Schritte, und von Fred sogar schon die ganze Skizze eines Wegs. Meiner führt woanders entlang, aber das Ziel bleibt das gleiche.
Es gibt noch weitere Möglichkeiten. Du könntest auch untersuchen, ob es für ein beliebiges [mm] \delta>0 [/mm] immer ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt, so dass für alle n>N gilt: [mm] (1+\delta)^n>n
[/mm]
Das ist nah an Freds Weg, aber trotzdem anders. Überleg mal, warum Du auch damit gezeigt hättest, dass Deine Folge gegen 1 konvergiert.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 15.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Sei [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = 1 + [mm] b_n.
[/mm]
So ist n = (1 + [mm] b_n)^n
[/mm]
Nach binomischem Lehrsatz:
n = [mm] \vektor{n \\ 0}(b_n)^0 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}(b_n)^1 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2}(b_n)^2 [/mm] + ...
Also ist n > [mm] \vektor{n \\ 2}(b_n)^2.
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] ist aber = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
=> [mm] \bruch{2}{n-1} [/mm] > [mm] (b_n)^2.
[/mm]
Damit ist [mm] (b_n)^2 [/mm] Nullfolge und damit [mm] b_n [/mm] ebenfalls.
=> [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] konvergiert gegen 1.
Ist das so okay?
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Hallo nochmal,
aha: Freds Weg.
Ja, das ist so ok.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 15.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Hätte ich damit nicht sowas gezeigt wie, jede exponentielle Funktion steigt stärker als jede potenzfunktion?
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Hallo nochmal!
> Hätte ich damit nicht sowas gezeigt wie, jede
> exponentielle Funktion steigt stärker als jede
> potenzfunktion?
Nein, womit willst Du das denn gerade gezeigt haben?
Was ist denn [mm] \wurzel[n]{n}, [/mm] eine exponentielle Funktion oder eine Potenzfunktion?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mo 15.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Waren Kritzeleien zu ner anderen Aufgabe^^
Da habe ich nämlich versucht zu zeigen dass [mm] n^k [/mm] < [mm] b^n [/mm] ist.
Wüsste leider nicht, was ich da gezeigt habe =/
Da fehlt mir wohl einiges an mathematischem Verständnis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach es so:
Setze [mm] a_n:= [/mm] $ [mm] \wurzel[n]{n}-1 [/mm] $
Dann ist [mm] n=(1+a_n)^n
[/mm]
1.Zeige: mit dem binomischen Satz folgt: [mm] n\ge 1+\vektor{n \\ 2}a_n^2
[/mm]
2. Zeige dann: [mm] a_n^2 \le [/mm] 2/n für n [mm] \ge [/mm] 2
Damit ist [mm] (a_n^2) [/mm] eine Nullfolge und somit auch [mm] (a_n)
[/mm]
FRED
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
