Konvergenzbeweise < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | a) Zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3n^2+1}{4n^3-3n^2+2} [/mm] divergiert und die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2n^2-n} [/mm] konvergiert.
b) Prüfe, ob [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\wurzel[n]{n^{n-1}}}{n} [/mm] konvergiert. |
Wie geht man am besten vor, um in diesen fällen Konvergenz/Divergenz zu beweisen?
bei a) hab ich versucht die 2. reihe durch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k-0,5}. [/mm] Hilft das weiter?
Und welches Kriterium soll ich bei b) verwenden? Ich hab's mal umgeformt, ich komme auf [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{\bruch{-1}{n}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeige, dass die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3n^2+1}{4n^3-3n^2+2}[/mm]
> divergiert und die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2n^2-n}[/mm]
> konvergiert.
>
> b) Prüfe, ob [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\wurzel[n]{n^{n-1}}}{n}[/mm]
> konvergiert.
> Wie geht man am besten vor, um in diesen fällen
> Konvergenz/Divergenz zu beweisen?
>
> bei a) hab ich versucht die 2. reihe durch
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{k-0,5}.[/mm]
> Hilft das weiter?
>
> Und welches Kriterium soll ich bei b) verwenden? Ich hab's
> mal umgeformt, ich komme auf [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^{\bruch{-1}{n}}[/mm]
>
Zur ersten Reihe in a) : Sei [mm] a_n:=\bruch{3n^2+1}{4n^3-3n^2+2} [/mm] und [mm] b_n:= \bruch{1}{n}.
[/mm]
Für große n verhält sich [mm] (a_n) [/mm] "fast" so wie [mm] (b_n). [/mm] Also vermutet man, dass [mm] \sum a_n [/mm] divergiert und sucht ein c>0 mit: [mm] a_n \ge c*b_n [/mm] für n hinreichend groß.
So kommst Du zu c:
Zeige: [mm] \bruch{a_n}{b_n} \to [/mm] 3/4.
Es folgt: es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \bruch{a_n}{b_n} \ge [/mm] 1/2 für alle n>N.
Damit ist [mm] a_n \ge \bruch{1}{2}* \bruch{1}{n} [/mm] für alle n>N.
Zur 2. Reihe in a) sei [mm] a_n:= \bruch{1}{2n^2-n}. [/mm] Für große n verhält sich [mm] (a_n) [/mm] fast so wie [mm] (b_n):=(\bruch{1}{n^2})
[/mm]
Vermutung: [mm] \sum a_n [/mm] konvergiert. Suche also ein c>0 mit [mm] a_n \le c*b_n [/mm] für n hinreichend groß.
Betrachte wieder den Quotienten [mm] a_n/b_n
[/mm]
Zu b): [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^{\bruch{-1}{n}}[/mm]
Ist [mm] (n^{\bruch{-1}{n}}) [/mm] eine Nullfolge ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, b) ist dann klar.
zu a) Da $ [mm] a_n \ge \bruch{1}{2}\cdot{} \bruch{1}{n} [/mm] $ gilt und 1/n divergiert, ist diese Reihe divergent. Reicht das als Begründung (also plus dem , was Fred vorher schon geschrieben hat)?
zur 2. Reihe:
Also [mm] a_n [/mm] / [mm] b_n [/mm] --> 1/2.
es folgt: es gibt ei N [mm] \in [/mm] IN mit:
[mm] a_n /b_n \le [/mm] 1/2 für alle n>N
Damit ist [mm] a_n \le [/mm] 1/2 * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] für alle n>N und [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert, also konvergiert diese Reihe.
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, b) ist dann klar.
>
> zu a) Da [mm]a_n \ge \bruch{1}{2}\cdot{} \bruch{1}{n}[/mm] gilt und
> 1/n divergiert, ist diese Reihe divergent. Reicht das als
> Begründung (also plus dem , was Fred vorher schon
> geschrieben hat)?
also [mm] $1/n\,$ [/mm] divergiert nicht. Die Reihe [mm] $\sum [/mm] 1/n$ divergiert (hier setze ich zur Abkürzung [mm] $\sum:=\sum_{n=1}^\infty$). [/mm] Und mit dem, was Fred geschrieben hat, solltest Du Dir klarmachen, dass ein Restglied Deiner Reihe dann durch ein Restglied von [mm] $\sum [/mm] 1/n$ nach unten abgeschätzt werden kann - das zeigt die Divergenz Deiner Ausgangsreihe, weil das Konvergenzverhalten einer Reihe sich nicht ändert, wenn man endlich viele Summanden abändert.
> zur 2. Reihe:
> Also [mm]a_n[/mm] / [mm]b_n[/mm] --> 1/2.
> es folgt: es gibt ei N [mm]\in[/mm] IN mit:
> [mm]a_n /b_n \le[/mm] 1/2 für alle n>N
>
> Damit ist [mm]a_n \le[/mm] 1/2 * [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] für alle n>N
Leider falsch, siehe unten!
> und
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] konvergiert,
Diese "Folge" konvergiert. Es geht aber um die Reihe über [mm] $1/n^2\,,$ [/mm] also [mm] $\sum 1/n^2\,,$ [/mm] und wichtig ist, dass man erkennt/erkannt hat/weiß, dass diese konvergent ist!
> also konvergiert diese Reihe.
>
> Ist das so korrekt?
Nein, nur fast korrekt. Denn aus [mm] $a_n/b_n \to [/mm] 1/2$ folgt keinesfalls, dass fast alle [mm] $c_n:=a_n/b_n$ [/mm] erfüllen [mm] $c_n \le 1/2\,.$
[/mm]
(Beispiel: [mm] $c_n:=1/2+(-1)^n*1/n\,.$ [/mm] Hier gilt [mm] $c_{2k} [/mm] > 1/2$ für alle natürlichen [mm] $k\,.$)
[/mm]
Aber: Du kannst etwa [mm] $c_n:=a_n/b_n \in (1/2-1/3,\;1/2+1/3)=(1/6,\;5/6)$ [/mm] für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] annehmen - also [mm] $c_n \le [/mm] 5/6$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem $N [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Denn: Benutze die Grenzwertdefinition "Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert..." und setze darin speziell [mm] $\epsilon=1/3 [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] für die Folge [mm] $c_n\,,$ [/mm] von der Du irgendwie schon [mm] $c_n \to [/mm] 1/2$ erkannt hattest!)
Dann passt das.
P.S.
Im Heuser, Analysis I, findest Du einen Satz, der folgendes besagt (ich zitiere ihn nicht ganz so, wie er da steht, insbesondere, da ich das Buch gerade nicht zur Hand habe - und ich ändere die Aussage minimal ab):
Zur Abkürzung setze ich hier [mm] $\sum:=\sum_{k=0}^\infty$:
[/mm]
Für reelle Zahlen [mm] $a_n,\;b_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN_0$) [/mm] existiere ein [mm] $N_1 \in \IN_0$ [/mm] so, dass [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \ge N_1$ [/mm] und es existiere ein [mm] $N_2 \in \IN_0$ [/mm] so, dass [mm] $b_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge N_2\,.$
[/mm]
(Kürzer kann man auch in äquivalenter Weise direkt die Existenz eines $N [mm] \in \IN_0$ [/mm] fordern, so dass [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ und [mm] $b_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ stets gilt.)
Wenn nun gilt: Es existiert [mm] $\gamma:=\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n)$ [/mm] UND wenn zudem gilt [mm] $\gamma [/mm] > 0$ (das [mm] $\red{\mathbf{> }\; 0}$ [/mm] ist wichtig, mit [mm] $\ge [/mm] 0$ ginge die Aussage nicht!), dann haben [mm] $\sum a_k$ [/mm] und [mm] $\sum b_k$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten.
Den Beweis kannst Du fast selber machen:
Wir setzen [mm] $N:=\max\{N_1,N_2\}$ [/mm] mit [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] wie aus den Voraussetzungen gegeben. Sei [mm] $\epsilon:=\gamma/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann existiert ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_\epsilon$ [/mm] so dass [mm] $a_n/b_n \in (\gamma-\gamma/2,\;\gamma+\gamma/2)=(\gamma/2,\;(3/2)*\gamma)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge \tilde{N}\,,$ [/mm] also so, dass
[mm] $$\frac{\gamma}{2} \le \frac{a_n}{b_n} \le \frac{3}{2}*\gamma$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge \tilde{N}\,.$
[/mm]
Nun setze [mm] $\mathbf{\widehat{N}}:=\max\{N,\;\tilde{N}\}$ [/mm] und betrachte die Restglieder
[mm] $$\sum_{n=\mathbf{\widehat{N}}}^\infty a_n$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\sum_{n=\mathbf{\widehat{N}}}^\infty b_n\,.$$
[/mm]
Was ja zu zeigen ist: Aus der Konvergenz von [mm] $\sum a_k$ [/mm] folgt die Konvergenz von [mm] $\sum b_k\,,$ [/mm] und aus der Divergenz von [mm] $\sum a_k$ [/mm] folgt die Divergenz von [mm] $\sum b_k\,.$ [/mm] Bzw. was man in äquivalenter Weise auch so formulieren kann (Kontraposition bei "Rückrichtungsformulierung" anwenden!):
Aus der Konvergenz von [mm] $\sum a_k$ [/mm] folgt die Konvergenz von [mm] $\sum b_k\,,$ [/mm] und aus der Konvergenz von [mm] $\sum b_k$ [/mm] folgt die Konvergenz von [mm] $\sum a_k\,.$
[/mm]
Was Fred hier getan hat, ist im Prinzip, die Ideen des Beweises der obigen Aussage auf ein spezielles Beispiel anzuwenden! (Was ich aber sehr gut finde - zum einen, um den Beweis besser zu verstehen, und zum anderen, um den Beweis auch ein wenig besser nachvollziehen zu können und um zu sehen, dass da jedes Argument auch "griffig" ist!)
P.S.
Und warum habe ich nun diesen Satz aus dem Heuser zitiert? Weil man damit die Konvergenzuntersuchung einer Reihe eventuell mithilfe einer anderen Reihe auf eine Grenzwertuntersuchung einer Folge reduzieren kann, ohne immer alle Ideen des Beweises des zitierten Satzes auf's Neue aufzuschreiben.
Beispiel:
Die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^4+2n+1}{n^{9/2}-3n^2-7n}$ [/mm] divergiert. (Ich hoffe mal, dass $x [mm] \mapsto x^{9/2}-3x^2-7x$ [/mm] keine Nullstelle in [mm] $\IN$ [/mm] hat. Andernfalls nehmen wir halt soche [mm] $n\,$'s [/mm] bei der Reihe raus!)
Wir sehen dies so ein:
Wir vergleichen diese Reihe mit [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\,.$ [/mm] Letztstehende divergiert.
Weiter gilt
[mm] $$\frac{\frac{n^4+2n+1}{n^{9/2}-3n^2-7n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=... \to [/mm] 1 [mm] \text{ bei }n \to \infty\,.$$ [/mm]
Insbesondere erkennen wir so, weil [mm] $\sqrt{n} [/mm] > 0$ ja für (fast) alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass auch [mm] $\frac{n^4+2n+1}{n^{9/2}-3n^2-7n} [/mm] > 0$ für fast alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelten muss - denn [mm] $\left(\frac{\frac{n^4+2n+1}{n^{9/2}-3n^2-7n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)_n$ [/mm] konvergiert ja gegen eine echt positive Zahl! Mit dem (von mir ein wenig anders formulierten) Satz aus Heuser folgt wegen $1 > 0$ dann auch schon die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke erstmal für deine ausführlichen Erklärungen! Leider habe ich noch nicht ganz verstanden, weshalb $ [mm] c_n:=a_n/b_n \in (1/2-1/3,\;1/2+1/3)=(1/6,\;5/6) [/mm] $ ist, also wie man auf diese Abschätzung und damit auf $ [mm] c_n \le [/mm] 5/6 $ kommt. Woher weiß man, dass [mm] c_n \le [/mm] 5/6 ist. Kann man das ,,errechnen''?
Wenn ich jetzt $ [mm] \frac{\gamma}{2} \le \frac{a_n}{b_n} \le \frac{3}{2}\cdot{}\gamma [/mm] $ verwenden würde, käme ich ja auf $ [mm] \frac{1}{4} \le \frac{a_n}{b_n} \le \frac{3}{4}\cdot{}$ [/mm] ...
Und was sagt der Beweis, den du geliefert hast genau aus? Dass, wenn
[mm] \lim_{n \to \infty}(a_n/b_n) [/mm] = c [mm] \ge [/mm] 0 ist daraus folgt, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert <=> [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal für deine ausführlichen Erklärungen!
> Leider habe ich noch nicht ganz verstanden, weshalb
> [mm]c_n:=a_n/b_n \in (1/2-1/3,\;1/2+1/3)=(1/6,\;5/6)[/mm] ist, also
> wie man auf diese Abschätzung und damit auf [mm]c_n \le 5/6[/mm]
> kommt. Woher weiß man, dass [mm]c_n \le[/mm] 5/6 ist. Kann man das
> ,,errechnen''?
ja. Und ich bin mir sicher, dass Du das auch kannst:
Wenn die reellwerige Folge [mm] $(c_n)$ [/mm] konvergent ist gegen $c [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dann existiert doch zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\epsilon\,,$ [/mm] so dass [mm] $|c_n [/mm] -c| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Nun gilt [mm] $|c_n [/mm] - c| < [mm] \epsilon \gdw c-\epsilon [/mm] < [mm] c_n [/mm] < [mm] c+\epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] (Dass [mm] $c_n \in (c-\epsilon,c+\epsilon) \gdw c-\epsilon [/mm] < [mm] c_n [/mm] < [mm] c+\epsilon$ [/mm] gilt, ist Dir klar, denke ich, oder?)
Und wenn etwas "für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$" gilt, dann auch "speziell für [mm] $\epsilon=\epsilon_0:=1/3$", [/mm] denn es ist ja $1/3 > [mm] 0\,.$
[/mm]
> Wenn ich jetzt [mm]\frac{\gamma}{2} \le \frac{a_n}{b_n} \le \frac{3}{2}\cdot{}\gamma[/mm]
> verwenden würde, käme ich ja auf [mm]\frac{1}{4} \le \frac{a_n}{b_n} \le \frac{3}{4}\cdot{}[/mm]
Wobei? (Also bei welchen [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$? [/mm] Ich bin zu faul, um zurückzublättern bzw. zurückzuklicken.... Aber wenn [mm] $a_n/b_n \to [/mm] 1/2$ gegolten hatte, dann ja!)
> ...
>
> Und was sagt der Beweis, den du geliefert hast genau aus?
> Dass, wenn
> [mm]\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n)[/mm] = c [mm]\mathbf{\red{\ge}}[/mm]
Nicht [mm] $\ge\,,$ [/mm] sondern ECHT GRÖßER!!
> 0 ist daraus folgt,
> dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] konvergiert <=>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n[/mm] konvergiert?
Ja: Das ist im Wesentlichen die Aussage des Satzes aus Heuser! Aber vergesse nicht, die Voraussetzungen zu prüfen. Außerdem habe ich dazugeschrieben, dass [mm] $\gamma$ [/mm] ECHT GRÖßER als Null sein muss - Du hast das [mm] $\gamma$ [/mm] hier [mm] $c\,$ [/mm] genannt, aber ich hatte doch extra drauf hingewiesen, dass die Aussage falsch wird, wenn man [mm] $\ge [/mm] 0$ anstatt [mm] $>\;0\,$ [/mm] schreibt!
Also nochmal, denn anscheinend hast Du das noch nicht ganz verstanden (und wo ist das [mm] $\gamma$ [/mm] bei Dir hin?).
1.) Sei nun mal [mm] $\sum b_k$ [/mm] konvergent. Für alle $n [mm] \ge \mathbf{\widehat{N}}$ [/mm] erkennen wir aus der obigen Abschätzung insbesondere
[mm] $$a_n \le \frac{3}{2}\gamma*b_n\,.$$
[/mm]
Wieso zeigt das nun, dass [mm] $\sum a_k$ [/mm] auch konvergent sein muss? (Beachte, dass [mm] $\frac{3}{2}\gamma$ [/mm] eine konstante Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] ist!)
2.) Sei nun mal [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergent. Für alle $n [mm] \ge \mathbf{\widehat{N}}$ [/mm] erkennen wir aus der obigen Abschätzung insbesondere
[mm] $$\frac{\gamma}{2}*b_n \le a_n$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge \mathbf{\widehat{N}}\,.$ [/mm] Wieso können wir nun die Konvergenz von [mm] $\sum a_k$ [/mm] folgern?
P.S.
Es macht auch durchaus Sinn, so, wie Du es getan hast, dass [mm] $\gamma$ [/mm] hier [mm] $c\,$ [/mm] zu nennen: Denn wir hatten ja [mm] $c_n:=a_n/b_n$ [/mm] definiert...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Die Frage ist ja, wie du auf dieses spezielle [mm] \varepsilon [/mm] kommst und weshalb z.B. das [mm] \varepsilon, [/mm] welches ich gewählt hatte , nämlich 1/2 falsch war für die Abschätzung. Woher weiß man, wie man [mm] \varepsilon [/mm] wählen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Frage ist ja, wie du auf dieses spezielle [mm]\varepsilon[/mm]
> kommst und weshalb z.B. das [mm]\varepsilon,[/mm] welches ich
> gewählt hatte , nämlich 1/2 falsch war für die
> Abschätzung. Woher weiß man, wie man [mm]\varepsilon[/mm] wählen
> muss?
wenn eine Aussage für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, dann auch für [mm] $\varepsilon=1/3\,.$
[/mm]
Du hattest, soweit ich mich erinnere gesagt:
Weil [mm] $c_n \to 1/2\,,$ [/mm] folgt [mm] $c_n \le [/mm] 1/2$ für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] (Oder habe ich das falsch in Erinnerung oder falsch verstanden?)
Wie willst Du sowas erhalten? Dafür müßtest Du ja [mm] $\varepsilon=0\,$ [/mm] wählen, aber [mm] $\varepsilon=0 [/mm] > 0$ gilt nicht!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Also könnte ich [mm] \varepsilon [/mm] auch = 1/10 wählen? Die Frage ist ja: Woher weiß ich, wie ich [mm] \varepsilon [/mm] wählen soll?
Wenn man zudem weiß, dass gilt: [mm] (a_n), (b_n) [/mm] Zahlenfolgen und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] / [mm] b_n \not= [/mm] 0 existiert. Dann ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] konvergiert absolut <=> [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] konvergiert absolut. (Den Beweis (außer die absolute Konvergenz) hattest du ja schon geliefert.
Ist dann auch dieser Beweis ok.:
[mm] a_n= \bruch{1}{2n^2-n} [/mm] und [mm] b_n [/mm] = [mm] 1/n^2, [/mm] dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] / [mm] b_n [/mm] = 1/2 [mm] \not= [/mm] 0.
Und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 1/n^2 [/mm] konvergiert (absolut?), also konvergiert auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n^2-n} [/mm] .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also könnte ich [mm]\varepsilon[/mm] auch = 1/10 wählen? Die Frage
> ist ja: Woher weiß ich, wie ich [mm]\varepsilon[/mm] wählen soll?
ja, das könntest Du auch. Wie Du es wählen "solltest", hängt davon ab, was Du zeigen willst (und natürlich sollte das, was Du zeigen willst, auch eine wahre Aussage sein). (Hier hättest Du auch [mm] $\varepsilon=10^{45345*\pi}$ [/mm] wählen können, wenn Dir das Spaß gemacht hätte. Denn was war denn einzig relevant für die Abschätzung nach oben?)
Wenn Du etwa aus [mm] $c_n \to [/mm] 1/2$ folgern wolltest, dass [mm] $c_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann könntest Du in der Definition der Konvergenz jedes $0 < [mm] \varepsilon \le 1/2\,$ [/mm] wählen, um dies zu erkennen. [mm] $\varepsilon=1\,$ [/mm] wäre eine schlechte Wahl, denn damit erhieltest Du nicht das, was Du haben willst.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke, Marcel. Ich hatte meine obige Frage noch um einen anderen Beweis erweitert. Könntest du dir das bitte noch anschauen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Danke, Marcel. Ich hatte meine obige Frage noch um einen
> anderen Beweis erweitert. Könntest du dir das bitte noch
> anschauen?
ja, da machst Du aber schon wieder das gleiche falsch.  Ich schreib's Dir gleich dazu!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist dann auch dieser Beweis ok.:
dann musst Du entweder das von mir erwähnte auch beweisen, oder Heuser zitieren, damit da ein Korrekteur auch nicht meckert. Ich selbst würde die Aussage von mir (oder aus dem Heuser) inklusive Beweis nochmal selbst hinschreiben.
> [mm]a_n= \bruch{1}{2n^2-n}[/mm] und [mm]b_n[/mm] = [mm]1/n^2,[/mm] dann ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] / [mm]b_n[/mm] = 1/2 [mm]\not=[/mm] 0.
Es ist schon wichtig, dass dieser Limes, nämlich [mm] $1/2\,,$ [/mm] auch $1/2 [mm] \red{\;>\;}0$ [/mm] erfüllt. Wäre $1/2 < [mm] 0\,,$ [/mm] so wäre dieser Limes auch [mm] $\not=0\,,$ [/mm] aber es würde ja gar nicht das erfüllt sein, was in der Aussage aus dem Heuser vorausgesetzt wird.
> Und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 1/n^2[/mm] konvergiert (absolut?),
Natürlich auch absolut. Was heißt denn, dass [mm] $\sum 1/n^2$ [/mm] absolut konvergiert? Nichts anderes, als dass [mm] $\sum |1/n^2|$ [/mm] konvergiert. Und was ist hier [mm] $|1/n^2|$?
[/mm]
> also konvergiert auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n^2-n}[/mm]
> .
Ja.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, das hab ich jetzt verstanden. Ich verstehe auch dass der GW nicht 0 sein darf. Aber warum darf er eigentlich nicht <0 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, das hab ich jetzt verstanden. Ich verstehe auch dass
> der GW nicht 0 sein darf. Aber warum darf er eigentlich
> nicht <0 sein?
ob er das nicht sein darf, darüber hatte ich mir keine Gedanken gemacht. In dem Beweis, so, wie er da steht, benutzt man halt, dass er $> [mm] 0\,$ [/mm] nach Voraussetzung ist.
Aber es ist nicht schlimm, dann machen wir uns nun dazu Gedanken:
Er kann auch nach den anderen gegebenen Voraussetzungen nämlich gar nicht $< [mm] 0\,$ [/mm] werden:
Wir hatten ja, dass [mm] $a_n \ge 0\,$ [/mm] und dass [mm] $b_n [/mm] >0 $ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem $N [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Daraus folgt, dass
[mm] $$c_n \ge [/mm] 0 [mm] \text{ für alle }n \ge [/mm] N$$
gilt.
Wenn nun [mm] $c:=\lim c_n$ [/mm] existiert: Kann dann $c < 0$ gelten? Angenommen, dem wäre so, also wir hätten echt mal eine Folge [mm] $(c_n)$ [/mm] mit [mm] $c_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gefunden, und wir nehmen an, es existierte [mm] $c:=\lim c_n$ [/mm] mit $c < [mm] 0\,.$ [/mm] Setze [mm] $\epsilon_0:=-c/2\,.$ [/mm] Nach Annahme ist dann hier [mm] $\epsilon_0 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Nun überlege Dir, wie man damit einen Widerspruch dazu bastelt, dass [mm] $c_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Gruß,
Marcel
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