Linear abhängig, Basen, Dim. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
| Aufgabe | a) Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen linear abhängig oder linear unabhängig sind (Begründung formulieren). Finden Sie jeweils eine Basis für die durch diese Mengen erzeugten Unterräume und geben Sie die Dimension an.
M1 = [mm] \{ \vektor{0 \\ 3 \\ 1} , \vektor{3 \\ 0 \\ 2} , \vektor{0 \\ 4 \\ 1}\} [/mm] , M2 = [mm] \{ \vektor{1 \\ 3 \\ 1} , \vektor{3 \\ 2 \\ -2} , \vektor{11 \\ 19 \\ 1} \}
[/mm]
M3 = [mm] \{ \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} , \vektor{0 \\ 3 \\ 2 \\ -2} , \vektor{0 \\ 11 \\ 19 \\ 1} , \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 1} \}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden:
B1 = [mm] \{ \vektor{3 \\ 0 \\ 0} , \vektor{2 \\ 3 \\ 0} , \vektor{1 \\ 5 \\ 7} \}, [/mm] B2 = [mm] \{ \vektor{6 \\ 3 \\ 1} , \vektor{0 \\ 3 \\ 2} , \vektor{0 \\ 0 \\ 7} \}
[/mm]
c) Bestimmen Sie die Koordinaten der folgenden Vektoren in jeder der beiden Phasen aus b):
[mm] \vektor{7 \\ 12 \\ 21} [/mm] , [mm] \vektor{30 \\ 27 \\ 6} [/mm] |
Hallo Mathe Forum.
Bei der gegebenen Aufgabe habe ich einige Fragen. Ob die Mengen bei a) linear abhängig sind habe ich bereits berechnet, ob meine Berechnungen richtig sind weiß ich nicht. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
Bei den ersten beiden Mengen habe ich die Vektoren aufgeschrieben, und jeweils eine Gleichung gebildet, also pro Menge 3 Gleichungen. Für die erste Menge habe ich also aufgeschrieben:
0 = r*3 + s*0
3 = r*0 + s*4
1 = -2r + s
Für s hab ich 0,75 raus, für r -0,125
Ich bin zu dem entschluss gekommen, dass M1 somit linear abhängig ist.
Bei Menge M2 bin ich genau so vorgegangen und habe für r 0,4 raus und für s -0,2 . M2 Wäre somit auch linear abhängig.
Bei der Menge M3 habe ich gar nicht großartig gerechnet, sondern einfach nur mit hilfe des Determinantenverfahren festgestellt, dass 0 überhaupt nicht raus kommen kann, da wegen den ganzen Nullen nur ein einziges mal eine zahl ungleich null raus kommen kann. Deshalb wäre M3 dann linear unabhängig.
Was es mit der Basis und der Dimension auf sich hat, habe ich noch nicht ganz raus und bräuchte deshalb an dieser Stelle wohl eine kleine Hilfestellung :)
Ich hoffe mir kann hierbei weitergeholfen werden.
mfg Marcel.
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Hallo Marcel,
> a) Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen linear abhängig
> oder linear unabhängig sind (Begründung formulieren).
> Finden Sie jeweils eine Basis für die durch diese Mengen
> erzeugten Unterräume und geben Sie die Dimension an.
>
> M1 = [mm]\{ \vektor{0 \\ 3 \\ 1} , \vektor{3 \\ 0 \\ 2} , \vektor{0 \\ 4 \\ 1}\}[/mm]
Habt ihr den Gauß-Algorithmus für lineare Gleichungssysteme bereits kennengelernt? Falls ja, so wende diesen auf die Matrix $ A $, die als Zeilen deine Vektoren aus $ [mm] M_1 [/mm] $ enthält an, also: $ A = [mm] \pmat{ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 1 } [/mm] $
Falls eine/mehrere dieser Zeilen aus $ A $ verschwinden, so sind die betreffenden Vektoren linear abhängig (= als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar). Die nicht verschwindenden Vektoren sind linear unabhängig.
Deine Aussage bzgl $ [mm] M_1 [/mm] $ ist leider nicht richtig, überprüfe das erneut.
> , M2 = [mm]\{ \vektor{1 \\ 3 \\ 1} , \vektor{3 \\ 2 \\ -2} , \vektor{11 \\ 19 \\ 1} \}[/mm]
>
> M3 = [mm]\{ \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} , \vektor{0 \\ 3 \\ 2 \\ -2} , \vektor{0 \\ 11 \\ 19 \\ 1} , \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 1} \}[/mm]
$ [mm] M_2 [/mm] $ und $ [mm] M_3 [/mm] $ kannst du analog zu $ [mm] M_1 [/mm] $ behandeln.
>
> b) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen eine Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] bilden:
> B1 = [mm]\{ \vektor{3 \\ 0 \\ 0} , \vektor{2 \\ 3 \\ 0} , \vektor{1 \\ 5 \\ 7} \},[/mm]
> B2 = [mm]\{ \vektor{6 \\ 3 \\ 1} , \vektor{0 \\ 3 \\ 2} , \vektor{0 \\ 0 \\ 7} \}[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie die Koordinaten der folgenden Vektoren in
> jeder der beiden Phasen aus b):
> [mm]\vektor{7 \\ 12 \\ 21}[/mm] , [mm]\vektor{30 \\ 27 \\ 6}[/mm]
>
> Was es mit der Basis und der Dimension auf sich hat, habe
> ich noch nicht ganz raus und bräuchte deshalb an dieser
> Stelle wohl eine kleine Hilfestellung :)
> Ich hoffe mir kann hierbei weitergeholfen werden.
Kennst du die Definition der beiden Begriffe und hast sie nicht verstanden bzw weißt nicht, wie sie dir bei dieser Aufgabe helfen, oder kennst du die Definition(en) noch nicht?
Das wäre noch wichtig zu wissen, um dir konkret helfen zu können.
>
> mfg Marcel.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> Habt ihr den Gauß-Algorithmus für lineare
> Gleichungssysteme bereits kennengelernt? Falls ja, so wende
> diesen auf die Matrix [mm]A [/mm], die als Zeilen deine Vektoren aus
> [mm]M_1[/mm] enthält an, also: [mm]A = \pmat{ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 1 }[/mm]
>
> Falls eine/mehrere dieser Zeilen aus [mm]A[/mm] verschwinden, so
> sind die betreffenden Vektoren linear abhängig (= als
> Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar). Die
> nicht verschwindenden Vektoren sind linear unabhängig.
>
> Deine Aussage bzgl [mm]M_1[/mm] ist leider nicht richtig,
> überprüfe das erneut.
Nein, den Gauß-Algorithmus hatten wir noch nicht, wird wohl aber noch dran kommen, da es auch bei uns im Buch zu finden ist.
Und mir fällt grade auf, dass ich bei M1 aufgeschrieben hab, dass es linear unabhängig ist. Hab mich hier wohl vertippt.
> > b) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen eine Basis des
> > [mm]\IR^3[/mm] bilden:
> > B1 = [mm]\{ \vektor{3 \\ 0 \\ 0} , \vektor{2 \\ 3 \\ 0} , \vektor{1 \\ 5 \\ 7} \},[/mm]
> > B2 = [mm]\{ \vektor{6 \\ 3 \\ 1} , \vektor{0 \\ 3 \\ 2} , \vektor{0 \\ 0 \\ 7} \}[/mm]
>
> >
> > c) Bestimmen Sie die Koordinaten der folgenden Vektoren in
> > jeder der beiden Phasen aus b):
> > [mm]\vektor{7 \\ 12 \\ 21}[/mm] , [mm]\vektor{30 \\ 27 \\ 6}[/mm]
> Kennst du die Definition der beiden Begriffe und hast sie
> nicht verstanden bzw weißt nicht, wie sie dir bei dieser
> Aufgabe helfen, oder kennst du die Definition(en) noch
> nicht?
> Das wäre noch wichtig zu wissen, um dir konkret helfen zu
> können.
Die Definitionen der Begriffe habe ich schon und weiß auch grob was damit anzufangen.
Ich hab dafür als Lösung die Standartbasen aufgeschrieben sprich (für M1 und M2) :
Basis [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
Die Dimension wäre dann logischerweise 3.
Ich bin mir nur grad nicht so sicher, ob auch wirklich diese Lösung die gesuchte Lösung ist. Klar lässt sich das auf alle Vektoren anwenden, aber das hat ja nicht wirklich was mit Rechnen oder Verständnis zu tun...
mfg Marcel.
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Hallo,
> Die Definitionen der Begriffe habe ich schon und weiß auch
> grob was damit anzufangen.
> Ich hab dafür als Lösung die Standartbasen
> aufgeschrieben sprich (für M1 und M2) :
Was ist denn eine Basis und wie sind die Koordinaten eines Vektors $ v $ definiert? Ausgehend von deiner Antwort vermute ich, dass du mit den Begriffen noch Schwierigkeiten hast.
>
> Basis [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
>
Das ist zwar eine Basis des $ [mm] \IR^3 [/mm] $, aber gefragt war ja nicht nach irgendeiner Basis, sondern du sollst zeigen, dass $ [mm] B_1$ [/mm] und $ [mm] B_2 [/mm] $ Basen des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ sind.
Gib mal die Definitionen wieder und teile uns mit, wie du zeigen würdest, dass $ [mm] B_1 [/mm] $ eine Basis des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ ist.
> Die Dimension wäre dann logischerweise 3.
>
> Ich bin mir nur grad nicht so sicher, ob auch wirklich
> diese Lösung die gesuchte Lösung ist. Klar lässt sich
> das auf alle Vektoren anwenden, aber das hat ja nicht
> wirklich was mit Rechnen oder Verständnis zu tun...
>
> mfg Marcel.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> Was ist denn eine Basis und wie sind die Koordinaten eines
> Vektors [mm]v[/mm] definiert? Ausgehend von deiner Antwort vermute
> ich, dass du mit den Begriffen noch Schwierigkeiten hast.
>
> >
> > Basis [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
>
> >
>
> Das ist zwar eine Basis des [mm]\IR^3 [/mm], aber gefragt war ja
> nicht nach irgendeiner Basis, sondern du sollst zeigen,
> dass [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] Basen des [mm]\IR^3[/mm] sind.
>
> Gib mal die Definitionen wieder und teile uns mit, wie du
> zeigen würdest, dass [mm]B_1[/mm] eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] ist.
Also Definition haben wir uns folgendes aufgeschrieben:
Def: [mm] \{\vec{x}_{2} , ... , \vec{x}_{k}\} \subseteq \IR^n [/mm] heißt Basis von U [mm] \subseteq \IR^n :\gdw u=span\{\vec{x}_{2} , ... , \vec{x}_{k}\} [/mm] und [mm] \{\vec{x}_{2} , ... , \vec{x}_{k}\} [/mm] linear unabhängig.
Das haben wir uns aufgeschrieben, habe ich nur leider überhaupt nicht verstanden. Deshalb habe ich mir bei YouTube ein paar Videos dazu angeguckt und bin dann schließlich auf die Basis "gekommen", die ich bereits aufgeschrieben habe. Klar wurden auch andere Basen behandelt, da waren die Gegebenheiten aber auch anders als bei meiner Aufgabe. Das wäre dann momentan auch mein Hauptproblem eine Basis zu "bilden".
mfg Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
Entschuldigung, natürlich muss bei der Definition eine 1 anstatt einer 2 da hin.
Also:
Def: [mm]\{\vec{x}_{1} , ... , \vec{x}_{k}\} \subseteq \IR^n[/mm] heißt Basis von U [mm]\subseteq \IR^n :\gdw u=span\{\vec{x}_{1} , ... , \vec{x}_{k}\}[/mm] und [mm]\{\vec{x}_{1} , ... , \vec{x}_{k}\}[/mm] linear unabhängig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Entschuldigung, natürlich muss bei der Definition eine 1
> anstatt einer 2 da hin.
muss nicht, es ist nur schöner! 
> Also:
> Def: [mm]\{\vec{x}_{1} , ... , \vec{x}_{k}\} \subseteq \IR^n[/mm]
> heißt Basis von U [mm]\subseteq \IR^n :\gdw u=span\{\vec{x}_{1} , ... , \vec{x}_{k}\}[/mm]
> und [mm]\{\vec{x}_{1} , ... , \vec{x}_{k}\}[/mm] linear
> unabhängig.
Gruß,
der alte Namenskollege
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Hallo,
ganz Allgemein ist eine Basis ein minimales Erzeugendensystem, das maximal linear unabhängig ist. Diese beiden Eigenschaften sind genau genommen sogar äquivalent.
Ist dir also ein Erzeugendensystem von $ m $ Vektoren gegeben, so gilt es, diese auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen bzw auf alle linear unabhängigen Vektoren zu reduzieren. So erhältst du ein minimales Erzeugendensystem, das maximal linear unabhängig ist und das ist dann die bzw eine gesuchte Basis.
Nun zu deiner Aufgabe:
$ [mm] B_1 [/mm] = [mm] \{ \vektor{3 \\ 0 \\ 0} , \vektor{2 \\ 3 \\ 0} , \vektor{1 \\ 5 \\ 7} \}, [/mm] $
Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, denke an die erste Teilaufgabe bzgl $ [mm] M_1 [/mm] $ und den von mir vorgeschlagenen Gauß-Algorithmus. Das hilft dir hier. Das Ganze machst du für $ [mm] B_2 [/mm] $ analog.
 Koordinaten:
Sei $ B = [mm] \operatorname{span}(v_1,...,v_n) [/mm] $ eine Basis des $ [mm] \IK$- [/mm] Vektorraums $ V $. Dann lässt sich jeder Vektor $ u [mm] \not\in [/mm] B $ aus $ V $ eindeutig als Linearkombination der Vektoren aus $ B $ darstellen gemäß:
$ u = [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_nv_n [/mm] $
Die $ [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] $ sind gerade die Koordinaten von $ u $ bzgl. der Basis B und man schreibt:
$ [mm] [u]_B [/mm] := [mm] \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n} \in \IK^n [/mm] $
Folgendes Beispiel macht das Ganze sicher sofort ersichtlich:
Wähle die kanonische Basis $ B = [mm] \{e_1,e_2,e_3\} [/mm] $ des $ [mm] \IR$-Vektorraums [/mm] $ [mm] \IR^3 [/mm] $.
Dann kannst du jeden Vektor, wie zB $ u = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] $ mit Hilfe der Basisvektoren $ [mm] e_1,e_2, e_3 [/mm] $ darstellen als Linearkombination:
$ u = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] = [mm] 2\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 3\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 4\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
(Wie du siehst, entsprechen die Koordinaten eines Vektors bzgl der Standardbasis (!) gerade dem Vektor selbst)
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich mache mal bzgl. "Basis des Unterraums" und "Dimension des Unterraums" ein Bespiel:
> a) Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen linear abhängig
> oder linear unabhängig sind (Begründung formulieren).
> Finden Sie jeweils eine Basis für die durch diese Mengen
> erzeugten Unterräume und geben Sie die Dimension an.
>
> M1 = [mm]\{ \vektor{0 \\ 3 \\ 1} , \vektor{3 \\ 0 \\ 2} , \vektor{0 \\ 4 \\ 1}\}[/mm]
diese Menge ist genau dann linear unabhängig, wenn
[mm] $$r*\vektor{0\\3\\1}+s*\vektor{3\\0\\2}+t*\vektor{0\\4\\1}=\vektor{0\\0\\0}$$
[/mm]
impliziert, dass $r=s=t=0$ [mm] ($\in \IR$).
[/mm]
Das Schöne hier ist, dass Du dieses GLS auch schreiben kannst als
[mm] $$A*\vec{x}=\vec{0}$$
[/mm]
mit [mm] $A:=\pmat{0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1}\,,$ $\vec{x}=\vektor{r\\s\\t}$ [/mm] und [mm] $\vec{0}=\vektor{0\\0\\0}\,.$
[/mm]
Dieses hat mit Sicherheit die Lösung [mm] $\vec{x}=\vec{0}\,.$ [/mm] Und dies (genau dann) die einzige Lösung,
wenn [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar ist. Und [mm] $A\,$ [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det(A) \not=0\,.$ [/mm] (Zu beachten ist dabei,
dass [mm] $A\,$ [/mm] quadratisch ist!) Da ich rechenfaul bin, habe ich mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determinanten.htm
[mm] $\det [/mm] A=3$ berechnen lassen. Daraus folgt dann, dass [mm] $M_1$ [/mm] linear unabhängig ist!
> , M2 = [mm]\{ \vektor{1 \\ 3 \\ 1} , \vektor{3 \\ 2 \\ -2} , \vektor{11 \\ 19 \\ 1} \}[/mm]
Analog kannst Du hier vorgehen und wirst sehen, dass die Menge linear abhängig ist.
Was bedeutet dass? Für [mm] $\IR^3$ [/mm] als "üblicher" [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist [mm] $B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}$ [/mm] eine Basis.
Basen eines (endlichdimensionalen) Vektorraums sind NICHT eindeutig, wohl aber die Anzahl der Elemente
einer jeden Basis. Diese Anzahl heißt dann die(!) Dimension des Vektorraums. Generell kannst Du Dir schonmal
merken: Wenn [mm] $V\,$ [/mm] ein [mm] $n\,$-dimensionaler [/mm] Vektorraum ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist, so gilt für jede Teilmenge $S [mm] \subseteq [/mm] V$ mit $|S| > [mm] n\,$ [/mm] schon,
dass [mm] $S\,$ [/mm] LINEAR ABHÄNGIG ist. Daraus folgt schon sofort, dass jeder Unterraum $U [mm] \subseteq [/mm] V$ von [mm] $V\,$ [/mm] sicher eine
Dimension [mm] $\le n=\dim(V)$ [/mm] haben muss.
Ebenso kannst Du Dir merken: Ist $S [mm] \subseteq [/mm] V$ so, dass $|S|=n$ [mm] ($S\,$ [/mm] hat also genau [mm] $n=\dim(V) \in \IN$ [/mm] Elemente!) UND zudem so,
dass [mm] $S\,$ [/mm] linear UNabhängig ist, so ist [mm] $S\,$ [/mm] eine Basis von [mm] $V\,.$ [/mm]
Schauen wir uns mal [mm] $M_2$ [/mm] an. Wir schreiben [mm] $$ [/mm] für den von [mm] $M_2$ [/mm] aufgespannten (Unter-)Raum (des [mm] $\IR^3$). [/mm]
[mm] $M_2$ [/mm] ist sicher ein Erzeugendensystem von [mm] $\,.$ [/mm] Jedes EZS von [mm] $$ [/mm] kann man zu einem "minimalen EZS"
verkleinern, und wenn dies gelungen ist, hat man eine Basis des [mm] $$ [/mm] gefunden. Weil [mm] $M_2$ [/mm] nur aus drei
Elementen besteht und diese drei linear abhängig sind, wird eine (jede) Basis von [mm] $$ [/mm] sicher echt
weniger als drei Elemente innehaben, es folgt [mm] $\dim() \le 2\,.$ [/mm] Alleine deswegen muss [mm] $$ [/mm]
ein echter Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] sein!
(Anstatt [mm] "$M_2$ [/mm] zu einem minimalen EZS" zu verkleinern, kann man auch eine " maximale Teilmenge linear
unabhängiger Vektoren aus [mm] $M_2$ [/mm] " bilden, um eine Basis von [mm] $$ [/mm] zu finden! Aber wir machen das nun anders... -
bei dem anderen Prozess würden wir auch "zwei Schritte vornehmen"...)
[mm] $M_2$ [/mm] ist linear abhängig, also kann [mm] $M_2$ [/mm] kein minimales EZS von [mm] $$ [/mm] sein. Wir entfernen den zweiten
Vektor aus [mm] $M_2\,,$ [/mm] es sei also
[mm] $${M_2}':=M_2 \setminus $\left\{\vektor{3 \\ 2 \\ -2}\right\}=\left\{ \vektor{1 \\ 3 \\ 1} , \vektor{11 \\ 19 \\ 1} \right\}\,.$$
[/mm]
In "nahezu offensichtlicher Weise" ist [mm] ${M_2}'$ [/mm] linear UNABHÄNGIG (Beweis?), und so haben wir mit [mm] ${M_2}'$ [/mm] eine Basis
von [mm] $$ [/mm] gefunden und können insbesondere [mm] $\dim=2$ [/mm] folgern.
Ich würde Dir übrigens auch empfehlen, mal ein Element aus [mm] $\IR^3 \setminus $ [/mm] anzugeben. Tipp dazu: [mm] $$ [/mm] ist als
zweidimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] "geometrisch eine Ursprungsebene". Sowas kennst Du sicher noch aus der
Schulmathematik!
P.S. Auch Dir empfehle ich, mal in das Buch "Bosch, Lineare Algebra" reinzugucken. Lass' Dich von dem
"Formalen" nicht abschrecken, das Buch ist schon sehr gut. Man muss halt auch ein wenig arbeitswillig
sein.
Zum Beispiel könnte ich Dich hier fragen: Wegen [mm] ${M_2}' \subseteq M_2$ [/mm] folgt sicherlich [mm] $<{M_2}'> \subseteq \,.$ [/mm] Wie aber
begründet sich eigentlich [mm] $ \subseteq <{M_2}'>$?
[/mm]
Wenn man solche Fragen beantworten kann, dann sieht man auch selbst, was man verstanden hat. Auch sollte
man sich merken:
Ist [mm] $V\,$ [/mm] ein [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] und $S [mm] \subseteq V\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;=\left\{\sum_{m=1}^p r_m*v_m:\;\;r_1,...,r_p \in K \text{ und }v_1,...,v_p \in V:\;\; p \in \IN\right\}\,,$$
[/mm]
also die Menge aller ENDLICHEN Linearkombinationen von [mm] $V\,.$ [/mm] (Die "ENDLICHKEIT" erkennst Du daran, dass
die obere Grenze beim Summenzeichen halt ein $p [mm] \in \IN$ [/mm] stets ist!)
Es gilt
[mm] $$=\bigcap_{\substack{U \subseteq V\\ U \text{ Unterraum mit }S \subseteq U}} U\,.$$
[/mm]
Ist [mm] $S\,$ [/mm] ENDLICH, d.h. $|S| < [mm] \infty\,,$ [/mm] schreiben wir [mm] $S=\{s_1,...,s_n\}$ [/mm] mit $n:=|S| [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so kann man wiederum sofort schreiben
[mm] $$(\*\*)\;\;\;\;\;\;=\left\{\sum_{m=1}^{n}r_m *s_m,\;\;r_m \in K \text{ für alle }m=1,...,n\right\}\,.$$
[/mm]
Siehst Du, dass [mm] $(\*\*)$ [/mm] hier "eleganter" wirkt als [mm] $(\*)$ [/mm] (auch, wenn das eigentlich nur ein 'Trug' ist - was Du eigentlich
erkennen solltest, ist, dass [mm] $(\*)$ [/mm] auch allgemeiner ist; denn das gilt auch bei nichtendlichdimensionalen Vektorräumen...)?
P.S. Mit den Argumenten in der Antwort erkennst Du auch, dass [mm] $M_1$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, daher
[mm] $=\IR^3$ [/mm] und insbesondere [mm] $\dim()=3\,.$
[/mm]
P.P.S. Beachte bitte, dass ich "bei der Konstruktion einer Basis von [mm] $$"
[/mm]
vielleicht noch etwas mehr hätte dazusagen sollen, sowas wie:
[mm] $$ [/mm] hat ja maximal Dimension [mm] $2\,,$ [/mm] und wenn ich nun eine
zweielementige Basis von [mm] $$ [/mm] angeben kann, bin ich fertig.
I.A. sollte "der Minimierungsprozess eines EZS zu einer Basis" eher
so vonstatten gehen, wie es im Beweis von Satz 5.8 (klick!)
beschrieben wird. Ich habe das oben auch gemacht, aber es ist vielleicht
nicht ganz offensichtlich, warum... (der zweite Vektor ist sicherlich ein
Element von [mm] $M_2 \setminus \{\text{zweiter Vektor}\}\,,$ [/mm] weil...).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:41 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vielleicht mal zur Ergänzung:
Dass man beim "Minimierungsprozess einer endlichen Teilmenge $S [mm] \subseteq [/mm] V$
eines [mm] $K\,$-Vektorraums $V\,$" [/mm] - wenn man eine Basis von [mm] $\,$ [/mm] sucht -
nicht einfach nur "irgendwie" Vektoren aus [mm] $S\,$ [/mm] entfernen kann, bis man
eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] $S\,$ [/mm] gefunden hat, zeigt das
folgende einfache Beispiel:
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;S=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\2\\0},\;\vektor{0\\3\\0}\right\}\,.$$
[/mm]
Im Beweis von etwa Satz 5.8 klingt dieser Vorgang vielleicht kompliziert,
daher erklären wir es hier vielleicht erstmal mit Worten, und danach
an dem Beispiel, wie man hier "schrittweise" vorgehen kann.
Im Beispiel der obigen Menge $S [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] könnte man, wenn man einfach "irgendwie"
Elemente aus [mm] $S\,$ [/mm] solange entfernt, bis eine linear unabhängige Menge
entsteht, den Fehler machen und - etwa - damit beginnen, [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] im ersten Schritt
zu entfernen. (Tatsächlich wäre es hier aber sogar ein Fehler, diesen
Vektor auch nur in irgendeinem Schritt zu entfernen!)
Tatsächlich ist aber [mm] $\,$ [/mm] eine Ursprungsebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] und [mm] $\dim()=2\,,$ [/mm] und ein kurzer
Blick auf [mm] $S\,$ [/mm] genügt, um zu erkennen, dass $S [mm] \setminus \{e_1\}$ [/mm] eine Ursprungsgerade mit Dimension 1
erzeugt! Der Beweis zu Satz 5.8 legt aber folgendes schrittweises Vorgehen
nahe:
1.)
Prüfe, ob [mm] $S\,$ [/mm] linear unabhängig ist. Falls ja, so ist [mm] $S\,$ [/mm] selbst Basis von
[mm] $\,.$ [/mm] Ist allerdings [mm] $S\,$ [/mm] linear abhängig, so finde einen Vektor [mm] $s_1 \in S\,,$ [/mm] der sich
als Linearkombination der Elemente aus [mm] $S^1:=S \setminus \{s_1\}$ [/mm] schreiben
läßt. Es gilt dann [mm] $$ $=\,$ $\,.$ [/mm] (Hier ohne Beweis!)
2.)
Prüfe nun, ob [mm] $S^1$ [/mm] linear unabhängig ist. Falls ja, so sind wir fertig.
Andernfalls suche ein [mm] $s_2 \in S^1$ [/mm] so, dass sich [mm] $s_2$ [/mm] als Linearkombination der
Elemente aus [mm] $S^2:=S^1 \setminus \{s_2\}$ [/mm] schreiben läßt. (Es gilt dann [mm] $\;=\;\;=\;\,.$)
[/mm]
.
.
.
Nach endlich vielen Schritten wird dieses Verfahren "mit einer passenden
Menge, die eine Basis von [mm] $\,$ [/mm] ist", terminieren.
Und nur, damit man direkt sieht, dass bei diesem Verfahren in obiger
Beispielmenge [mm] $S\,$ [/mm] aus [mm] $(\*)$ [/mm] niemals der "wichtige" Vektor [mm] $(1,0,0)^T$ [/mm] so entfernt
werden kann:
[mm] $S=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\2\\0},\;\vektor{0\\3\\0}\right\}\equiv:\{e_1,\;v_1,\;v_2,\;v_3\}$ [/mm] ist ja linear abhängig (trivial).
Im ersten Schritt dürften wir [mm] $e_1$ [/mm] nur dann entfernen, wenn wir nachweisen,
dass es [mm] $r_1,r_2,r_3 \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $$e_1=\sum_{k=1}^3 r_k v_k$$
[/mm]
gibt. Solche kann es aber nicht geben. (Warum? Eigentlich findet sich die
passende Begründung in Worten gleich unten; analog!)
Also würden wir bspw. [mm] $S^1=S \setminus \{v_3\}$ [/mm] bilden. (Beispielsweise ist [mm] $v_3=0*e_1+3*v_1+0*v_2\,.$)
[/mm]
Aus [mm] $S^1$ [/mm] können wir aber [mm] $e_1$ [/mm] auch nicht entfernen, denn eine Linearkombination
aller Vektoren aus [mm] $S^1 \setminus \{e_1\}\,,$ [/mm] also eine Linearkombination der Vektoren
[mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2\,,$ [/mm] wird an der ersten Komponente immer eine [mm] $0\,$ [/mm] stehen haben, [mm] $e_1$ [/mm] hat
dort aber eine [mm] $1\,$ [/mm] stehen.
Entfernen wir nun bspw. [mm] $v_1$ [/mm] aus [mm] $S^1\,,$ [/mm] so entsteht [mm] $S^2=S^1 \setminus \{v_1\}=\{e_1,v_2\}=\{(1,0,0)^T,\;(0,2,0)^T\}\,.$
[/mm]
Diese Menge ist linear unabhängig und damit eine Basis von [mm] $\,.$
[/mm]
Und die obigen Überlegungen zeigen, dass in diesem Beispiel hier quasi
[mm] $e_1$ [/mm] niemals entfernt wird (und auch niemals entfernt werden dürfte), wenn
wir eine Basis von [mm] $\,$ [/mm] - mit obiger Menge [mm] $S=\{e_1,\;v_1,\;v_2,\;v_3\}$ [/mm] - mittels
"Minimierung eines EZS" konstruieren.
P.S. Wenn [mm] $S\,$ [/mm] linear abhängig ist, sei $|S|=n [mm] \in \IN$ $n\,$-elementig, [/mm] wir schreiben
[mm] $S=\{s_1,...,s_n\}\,,$ [/mm] so hilft der Gaußalgorithmus auch beim Auffinden eines [mm] $s_k \in S\,,$
[/mm]
für welches
[mm] $$s_k=\sum_{\substack{\ell=1\\\ell \not=k}}^n r_\ell s_\ell$$
[/mm]
geschrieben werden kann - mit Skalaren [mm] $r_\ell \in [/mm] K$. Aber das ist nun wieder
ein separates Thema...
Gruß,
Marcel
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