Nullst. v. Summe v. Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe zwei Polynome gegeben:
[mm] $p(z)=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k$ [/mm] sowie [mm] $q(z)=\sum\limits_{k=0}^n b_k z^k$
[/mm]
Dabei sind alle Koeffizienten [mm] $a_k$, $b_k$ [/mm] reell und positiv [mm] ($a_n\neq0\neq b_n$)! [/mm] Die Variable $z$ ist komplex. Ich weiß, dass alle Nullstellen von $p$ und $q$ reell sind und demzufolge (da die Koeffizienten pos. sind) auf der negativen reellen Achse liegen.
Ich weiß nun [mm] $a_k\geq b_k$ [/mm] für alle $k$. (also sind alle Nullstellen von $p-q$ negativ)
Meine Frage: Was kann ich über die Nullstellen der einzelnen Polynome aussagen? Sind die Nullstellen von $p$ alle kleiner (oder größer) als die von $q$? Kann ich zumindest eine Aussage über die jeweils größte oder kleinste Nullstelle treffen?
Dabei würde mir sogar schon ein Hinweis reichen, wo ich Resultate dazu finden kann.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] a_k>b_k [/mm] sagen über die Lage der Nst von p oder q nichts aus. du kannst ja p=0 mit einem beliebigen Faktor multiplizieren, die Nst bleiben erhalten, [mm] a_k>b_k [/mm] nicht.
Was genau willst du denn erreichen?
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Hallo,
Ich denke nicht, dass die Frage im passenden Unterforum ist...
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Do 30.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> Ich denke nicht, dass die Frage im passenden Unterforum
> ist...
das ist ein guter Punkt. Algebraische Geometrie (im klassischem Sinne) ist das nicht. Die Frage richtig zu klassifizieren ist aber auch nicht so einfach :)
Ich werde sie mal ins allgemeine Algebra-Forum verschieben. Analysis ist es doch eher nicht -- schliesslich reicht es hier aus, wenn man angeordnete Koerper hat, die nicht vollstaendig sind. Aber auch darueber kann man diskutieren...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 28.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wie Leduart schon anmerkte, macht die Frage nur für normierte Polynome [mm] (a_n=b_n=1) [/mm] überhaupt Sinn.
Aber auch dann lässt sich keine Aussage treffen, wie die folgenden Beispiele zeigen :
1. Fall : kleinste Nst. bei p, größte Nst bei p
p(x) = [mm] x^3+10,5x^2+29x+12 [/mm] mit Nst -6 -4 -0,5
q(x) = [mm] x^3+8x^2+17x+10 [/mm] mit Nst -5 -2 -1
2. Fall : kleinste Nst bei p, größte Nst bei q
p(x) = [mm] x^3+12x^2+44x+48 [/mm] mit Nst -6 -4 -2
q(x) = [mm] x^3+9x^2+23x+15 [/mm] mit Nst -5 -3 -1
3. Fall : kleinste Nst bei q, größte Nst bei p
p(x) = [mm] x^3+15x^2+68x+84 [/mm] mit Nst -7 -6 -2
q(x) = [mm] x^3+14,5x^2+62x+80 [/mm] mit Nst -8 -4 -2,5
4. Fall : kleinste Nst bei q, größte Nst bei q
p(x) = [mm] x^3+13x^2+54x+72 [/mm] mit Nst -6 -4 -3
q(x) = [mm] x^3+10x^2+23x+14 [/mm] mit Nst -7 -2 -1
Gruß Sax.
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