Wohldefiniertheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 10.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
| Aufgabe | Es seien V ein K-Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] ein Unterraum.
Zeigen sie, dass auf der Faktorgruppe (V/U,+) durch [mm] \lambda [/mm] * (v + U) := ( [mm] \lambda [/mm] * v ) + U ( [mm] \lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] V) eine wohldefinierte Skalarmultiplikation gegeben ist. |
Hi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe bisher leider überhaupt nicht verstanden, wann man überhaupt eine Wohldefiniertheit zu zeigen hat und vor allem nicht, wie man dabei vorzugehen hat.
Wär also lieb, wenn mir jemand von euch helfen könnte und mir sagen könnte, wann ich zu zeigen habe, dass irgendetwas wohldefiniert ist und mir sagen kann, mit was für einem Ansatz ich da ran gehen muss und, auf was ich am Ende kommen muss...
MfG
Tobi
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Hallo Tobi,
Wohldefiniertheit bedeutet hier das folgende: Die Skalare Mult.
[mm] \cdot [/mm] : K [mm] \times V\slash [/mm] U [mm] \to V\slash [/mm] U ist ja eine Operation, die
ein Paar [mm] (\lambda, [v]_U) [/mm] , wobei [mm] \lambda \in [/mm] K ist und [mm] [v]_U [/mm] die Aequivalenzklasse
von [mm] v\in [/mm] V bezueglich der Aequivalenzrelation
[mm] v\equiv [/mm] w genau dann, wenn [mm] v-w\in [/mm] U
ist, abbildet auf die Klasse [mm] [\lambda\cdot v]_U.
[/mm]
Dieses Bild von [mm] (\lambda,[v]_U) [/mm] wird hier definiert in Termen eines Vertreters v der Klasse, und Wohldefiniertheit heisst, dass diese Definition nicht von der Wahl des
Vertreters abhaengt, d.h. wenn wir zwei Vertreter [mm] v_1,v_2 [/mm] der Klasse [mm] [v]_U [/mm] nehmen,
so soll dann [mm] [\lambda\cdot v_1]_U [/mm] = [mm] [\lambda \cdot v_2]_U [/mm] sein,
oder anders geschrieben:
Zu zeigen ist, dass aus
[mm] v_1-v_2\in [/mm] U auch [mm] \lambda\cdot v_1-\lambda\cdot v_2\in [/mm] U folgt.
Allgemein handelt es sich um das Spielchen mit sogenannten
Kongruenzrelationen, also Aequivalenzrelationen, die vertraeglich mit
den Rechenoperationen der algebraischen Struktur sind. Hierzu hatte ich vor kurzem mal was ins Forum geschrieben, Literaturempfehlung: Burris, Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, frei online erhaeltlich auf der Homepage eines der Autoren.
Dieses Spiel hat als Spezialfaelle Quotientengruppen mit Normalteilern, Quotientenringe mit Idealen, Quotientenvektorr"aume mit Unterr"aumen und vieles
mehr, das allgemeine Prinzip ist immer dasselbe - auf so elementarer Ebene, wohlgemerkt !
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 10.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
Also, wenn ich dich richtig verstanden hab, soll ich ja zeigen, dass
für ein [mm] v_{1}=v_{2}+U [/mm] gilt:
[mm] (\lambda [/mm] * [mm] v_{1}) [/mm] + U = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] v_{2}) [/mm] + U
[mm] (\lambda [/mm] * [mm] v_{1}) [/mm] + U
= [mm] (\lambda [/mm] * [mm] (v_{2} [/mm] + U)) + U
= [mm] (\lambda [/mm] * [mm] v_{2}) [/mm] + U + U
= [mm] (\lambda [/mm] * [mm] v_{2}) [/mm] + U
darf man wahrscheinlich nicht so machen oder?
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Hallo Don und hallo Freunde der Aequivalenzrelationen und
Quotientenstrukturen,
also die Notation ist nicht so ganz ok, Du darfst nicht mit U rechnen wie mit
einem Vektor, zumindest nicht einfach so unbegruendet.
Ich konnt zwar nicht den ganzen Strang lesen, aber die Frage scheint ja noch aktuell
zu sein, also zur Wohldef. der Addition:
Zu zeigen ist wieder, dass sie unabh. von der Wahl der Vertreter ist, d.h.
wenn [mm] u_1 [/mm] aeqiv. zu [mm] u_2 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] aequiv zi [mm] v_2, [/mm] dann auch [mm] u_1+u_2 [/mm] aequ. zu [mm] v_1+v_2.
[/mm]
Aber die Vorauss. besagen doch per definition, dass
[mm] u_1-u_1\in [/mm] U, [mm] v_1-v_2\in [/mm] U, und zu zeigen ist, dass dann auch
[mm] (u_1+v_1)-(u_2+v_2)\in [/mm] U
und dies gilt doch, da U Unterraum und die Addition auf V assoziativ.
Gruss,
Mathias
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Vielleicht einmal ein simples Beispiel aus einem anderen Bereich zum besseren Verständnis des Begriffs Wohldefiniertheit.
Für beliebige [mm]\frac{a}{b} , \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}[/mm] (die Zähler und Nenner seien ganze Zahlen, die Nenner nicht 0) definieren wir eine neue Rechenart [mm]\triangle[/mm] gemäß
[mm]\frac{a}{b} \triangle \frac{c}{d} = \frac{ac}{b^2 + d^2}[/mm]
Beispiel:
[mm]\frac{2}{3} \triangle \frac{1}{2} = \frac{2}{13}[/mm]
Das scheint nicht weiter schwer zu sein. Aber irgendetwas ist da merkwürdig ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Di 10.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
Hm, irgendwie hilft mir das nicht wirklich zum besseren Verständnis des Begriffes Wohldefiniertheit. 
Ich bin wahrscheinlich grad einfach nur etwas zu blöd, aber seh irgendwie nicht, was da dran merkwürdig ist. :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es gilt ja
[mm] $\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{2}{4}$.
[/mm]
Dann sollte doch auch
[mm] $\frac{2}{3} \Delta \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{2}{3} \Delta \frac{2}{4}$
[/mm]
gelten, oder?
Probiere es mal aus...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 10.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
Ah! Ok, verstehe!
Super, danke! :) Hilft mir schon mal weiter!
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